Exercícios Resolvidos de Pêndulo

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Enunciado

Questão 2) Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo θ e solto a partir do repouso. Para que ângulo β com a vertical sua velocidade será metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos um pendulo que inicialmente está a um ângulo θ com a vertical do seu eixo de rotação.

O pendulo é solto e passa por um ângulo β onde nesse momento a sua velocidade é a metade da velocidade máxima que o pendulo atinge.

Que engulo é esse? 🤔

Tem ideia do que fazer?? 🤔🤔

No ponto mais alto do pendulo, sua extremidade não possui velocidade, então sua energia é puramente potencial gravitacional.

Quando o pendulo é solto essa energia é convertida em energia cinética e no menor ponto da trajetória sua extremidade está na velocidade máxima.

A partir daqui podemos pensar no nosso problema!

Bora? 😁

Passo 2

Primeiro vamos imaginar como é a situação inicial do problema

Se o ponto mais baixo que a bola atinge é quando θ = 0 e L = h . No ponto mais alto, podemos dizer que L - h é nossa altura. Mas o que é h ?

Como L , h e a distância horizontal da bola até o eixo central vertical formam um triangulo retângulo, podemos afirmar que h é dado por

h = L · cos ⁡ θ

obs: se o cosseno de um ângulo é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, então cos ⁡ θ = h / L .

A energia potencial gravitacional é dada por

U = m · g · h

m é a massa da bola, g é a aceleração gravitacional e h acabamos de calcular.

Fazendo as substituições

U = m · g · L · cos ⁡ θ

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Já no ponto mais baixo, quando não temos mais energia potencial e toda a energia foi convertida em energia cinética, temos

K = m · V 2 2

Se em β a velocidade da bola é a metade da velocidade máxima, vamos ter uma situação de

Nesse ponto a bola possui energia cinética, já que parte da energia potencial foi convertida e ainda possui energia potencial já que ela ainda não chegou no ponto mínimo da altura.

Se U no ponto máximo é dado por U = m · g · L · cos ⁡ θ , nesse ponto agora U ' é dado por

U ' = m · g · L · cos ⁡ β

E se a energia cinética no ponto mínimo é dada por K = m · V 2 2 , a energia cinética K ' nesse ponto, visto que a velocidade é a metade da velocidade V , será

K ' = m · V 2 2 2

Pela lei de conservação de energia, vemos que a energia inicial é igual a energia final, ou seja

U = U ' + K '

Fazendo as substituições, vamos obter

m · g · L · cos ⁡ θ = m · g · L · cos ⁡ β + m · V 2 2 2

Simplificando a equação cortando m dos dois lados, temos

g · L · cos ⁡ θ = g · L · cos ⁡ β + V 2 2 2

g · L · cos ⁡ θ = g · L · cos ⁡ β + V 2 4 2

g · L · cos ⁡ θ = g · L · cos ⁡ β + V 2 8

Interessante, não é?

Passo 4

Isolando cos ⁡ β em um lado da igualdade...

g · L · cos ⁡ β = g · L · cos ⁡ θ - V 2 8

cos ⁡ β = g · L · cos ⁡ θ g · L - V 2 8 · g · L

cos ⁡ β = cos ⁡ θ - V 2 8 · g · L

Lembra que K = m · V 2 2 ? E que pelo princípio da conservação de energia K = U ? Então

m · V 2 2 = m · g · L · cos ⁡ θ

Isolando V 2 em um lado da igualdade e simplificando m , temos

V 2 2 = g · L · cos ⁡ θ

V 2 = 2 · g · L · cos ⁡ θ

Substituindo V 2 em cos ⁡ β

cos ⁡ β = cos ⁡ θ - 2 · g · L · cos ⁡ θ 8 · g · L

cos ⁡ β = cos ⁡ θ - 2 · cos ⁡ θ 8

Simplificando a equação

cos ⁡ β = cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 4

cos ⁡ β = 3 cos ⁡ θ 4

Com isso, vemos que o ângulo β é o ângulo cujo seu cosseno é igual a ¾ do cosseno de θ !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

cos ⁡ β = 3 cos ⁡ θ 4

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