Exercícios Resolvidos de Pêndulo

TIPLER, P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 234 – 52.

Um pêndulo de 80 c m de comprimento, com uma bolinha de 0,60 k g , é largado do repouso quando forma um ângulo de θ 0 com a vertical. Na parte mais baixa da oscilação, a rapidez da bolinha é 2,8   m / s .

  1. Quanto vale θ 0 ?
  2. Qual é o ângulo que o pêndulo forma com a vertical quando a rapidez da bolinha é 1,4   m / s ? Este ângulo é igual a 1 2   θ 0 ? Explique o porquê da resposta.

Passo 1

A ideia desse exercício é quase a mesma do anterior. Durante a oscilação ele não perde e nem ganha energia mecânica, pois não há nenhuma força dissipativa atuando no pêndulo. O que vai acontecer é que a energia potencial gravitacional do sistema vai ser transformada em energia cinética. Vamos achar as respostas?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa a)

Vamos usar dois pontos, certo? Vamos chamar de P 1 o ponto onde o pêndulo é largado do repouso e P 2 o ponto mais baixo da oscilação. Vamos considerar o ponto mais baixo da oscilação como h = 0 .

Calculando a energia mecânica em P 2 :

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E m e c â n i c a = m g h + m v 2 2

E m e c â n i c a = 0,6 x 9,81 x 0 + 0,6 x 2,8 2 2

E m e c â n i c a = 2,352   J

Passo 3

Agora que já sabemos a energia mecânica do sistema, podemos usa-la para achar a energia gravitacional em P 1 , já que como o pêndulo estava no repouso, ele não possui velocidade.

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E m e c â n i c a = m g h + m v 2 2

2,352 = 0,6 x 9,81 x h + 0,6 x 0 2 2

h = 0,4

Passo 4

Agora que já sabemos a altura, vamos usa-la para calcular o ângulo que a corda faz no ponto mais alto. Sabendo a altura, conseguiremos descobrir o c o s ⁡ ( θ 0 ) , pois sabemos a hipotenusa do ângulo, 0,8 m , e o cateto adjacente, l - h .

cos ⁡ θ 0 = l - h l

C o s θ 0 = 0,4 m 0,8 m

C o s θ 0 = 1 2

θ 0 = 60 °

Passo 5

Alternativa b)

O que ta acontecendo agora de diferente? Agora, ele não vai ter só energia cinética ou só energia gravitacional, ele vai ter ambas. Vamos calcular a energia cinética com a velocidade que ele deu e a energia mecânica nós já sabemos, pois ela é igual em todos os pontos!!!

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

2,352 = 0,6 x 9,81 x h + 0,6 x 1,4 2 2

h = 0,3 m

Passo 6

Para calcular o ângulo vamos usar a mesma idéia:

cos ⁡ θ = l - h l

cos ⁡ θ = 0,5 0,8

θ =   51 °

O ângulo não é metade do ângulo inicial, pois esse ângulo é linearmente dependente da energia gravitacional, e essa energia não é linearmente depende da velocidade, por isso que não fica a metade

Resposta

Alternativa a)

60 °

Alternativa b)

51 °

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