Exercícios Resolvidos de Pêndulo

Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

Um pêndulo simples é afastado da vertical de um ângulo de 60 o . O comprimento da corda é de 50   c m e a massa amarrada à corda é de 100   g . Nesta posição inicial o pêndulo sofre um impulso instantâneo que produz uma velocidade inicial tangencial de 1,0   m / s . Qual é o ângulo onde o pêndulo atinge o repouso instantâneo?

Passo 1

Queremos achar o ângulo final θ f no qual o pêndulo para instantaneamente. Podemos chamar de d f a distância do pêndulo ao teto nesse instante e de   d i a distância do pêndulo ao teto no começo do movimento.

Vamos fazer um esquema desse pêndulo pra visualizar melhor a questão (e pra você poder apreciar minhas super habilidades no paint, é claro rs):

Tá bom, retiro o que disse sobre super habilidades no paint... :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular essas d i e d f ! Com uma trigonometria básica, temos:

d i = 50 ⋅ cos ⁡ 60 o = 50 2 = 25   c m = 0,25   m

d f = 50 ⋅ cos ⁡ θ f   c m = 0,5 cos ⁡ θ f m

Passo 3

Assumindo que não há atrito, podemos tentar aplicar a conservação da energia mecânica:

E m i = E m f

⇒ K i + U i = K f + U f

K sendo a energia cinética e U a energia potencial. Nesse caso não temos energia potencial elástica, somente energia potencial gravitacional.

Passo 4

Vamos primeiro focar na energia cinética. Temos m = 100   g = 0,1   k g e v i = 1   m / s .

Então a energia cinética no começo do movimento é:

K i = 1 2 m v i 2 = 1 2 ⋅ 0,1 ⋅ 1 = 1 20   J

E no fim do movimento, o pêndulo para por um instante portanto ele não tem energia cinética:

v f = 0 ⇒ K f = 0

Passo 5

Show, agora vamos dar uma olhada na energia potencial gravitacional.

Vamos definir o zero de potencial na altura do ponto O da figura, ou seja 50   c m abaixo do teto, ok? Então precisamos das alturas h i e h f do pêndulo no início e no fim do movimento, respectivamente. Mas como já calculamos d i e d f isso vai ser moleza!

h i é o comprimento do pêndulo menos d i :

h i = 50 - 25 = 25   c m = 0,25   m

E h f é o comprimento do pêndulo menos d f :

h f = 50 - 50 cos ⁡ θ f c m = 0,5 1 - cos ⁡ θ f   m

Passo 6

Então a energia potencial gravitacional no começo do movimento é:

U i = m g h i = m g ⋅ 0,25 = m g 4   J

E quando o pêndulo para:

U f = m g h f = m g ⋅ 0,5 1 - cos ⁡ θ = m g 1 - cos ⁡ θ 2   J

Passo 7

Excelente! Aplicando a conservação da energia mecânica, vamos ter:

K i + U i = K f + U f

⇒ 1 20 + m g 4 = 0 + m g 1 - cos ⁡ θ 2

Como m = 0,1   k g e g = 10   m / s 2 temos m g = 1   k g ⋅ m / s 2 , então a equação fica:

1 20 + 1 4 = 1 - cos ⁡ θ 2

⇒ 6 20 = 1 - cos ⁡ θ 2

⇒ 12 20 = 1 - cos ⁡ θ

⇒ cos ⁡ θ = 1 - 12 20 = 1 - 3 5 = 2 5

⇒ θ = arccos ⁡ 2 5 ≈ 66,4 o

Resposta

θ = arccos ⁡ 2 5 ≈ 66,4 o

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