Exercícios Resolvidos de Pressão Hidrostática

O tanque cilíndrico na Figura abaixo está sendo cheio com água a 20 ° C por uma bomba que desenvolve uma pressão de saída de 175   k P a . No instante mostrado, a pressão no ar é de 110   k P a e H = 35   c m . A bomba para quando ela não pode mais aumentar a pressão da água. Para compressão isotérmica do ar, calcule H naquele instante.

Passo 1

A bomba vai parar de encher o tanque de água quando a pressão no tanque for igual a pressão que ela exerce. Assim:

P a r f i n a l + P á g u a f i n a l = 175000

Nesse momento teríamos uma coluna de água Y . E de ar igual a 1,1 - Y , pois a altura do tanque é de 75 + H = 110   c m = 1,1   m .

Então teríamos a seguinte equação:

P a r f i n a l + ρ á g u a . g . Y = 175.10 3

Para resolvermos o problema precisamos encontrar o valor da pressão final de ar. O que é fácil se lembrarmos de termodinâmica. Da fórmula “PiViTi-PoVoTo”. Como é uma compressão isotérmica, temos:

P i . V i = P f . V f

P a r f i n a l = P a r i n i c i a l . V i n i c i a l V f i n a l

Então para encontrarmos o valor de Y , precisamos encontrar a forma com que a pressão de ar irá variar de acordo com o valor de Y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então se tivermos a pressão no início, o volume no início, e o volume no final, descobrimos a pressão no final por uma regra de três.

A pressão no início é dada pelo enunciado P a r i n c i o = 110000   P a

Agora vamos calcular o volume inicial. O volume de um cilindro é área da base vezes altura.

Chamando a área da base de A , temos que o volume ocupado por no início era de:

V i n í c i o = A . h = A . 0,75

E o volume final será em função de Y , sendo assim:

V f i n a l = A . ( 1,1 - Y )

Passo 3

Agora temos tudo para descobrir a pressão final

P a r f i n a l = 110000 . A . 0,75 A . ( 1,1 - Y )

P a r f i n a l = 110000.0,75 1,1 - Y

Agora sim, temos tudo em função de Y .

Passo 4

Tendo tudo em função de Y , podemos substituir na equação de pressão no final:

P a r f i n a l + ρ á g u a . g . Y = 175.10 3

110000.0,75 1,1 - Y + ρ á g u a . g . Y = 175.10 3

Agora teremos uma equação do segundo grau assim:

110000.0,75 + ρ á g u a . g . Y 1,1 - Y = 175.10 3 1,1 - Y

110000.0,75 + ρ á g u a . g . Y . 1,1 - ρ á g u a . g . Y 2 = 175.10 3 . 1,1 - 175.10 3 . Y

ρ á g u a . g . Y 2 - ρ á g u a . g . 1,1 + 175.10 3 Y + 175.10 3 . 1,1 - 110000.0,75

Resolvendo a equação do segundo grau, achamos dois valores

Y = 18,36   m e t r o s e Y = 0,611   m

Como o Y tem que ser menor que 1,1   m e t r o o único valor possível é

Y = 0,611   m

Resposta

Y = 0,611   m

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