1.

Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média μ m g de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório N μ , σ 2 , onde σ ² = 2500 . A partir de 100 repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média 200   m g de cloreto.

  1. Calcule o intervalo de confiança de 99 % para μ . Interprete o resultado.
  2. Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de 51 repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a 250   m g e 60   m g . Obtenha o intervalo de confiança de 99 % para o μ que o novo procedimento é capaz de produzir.
  3. Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).
Resolução
2.

Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional ( 177,66 ; 185,5 ) (em c m ).

  1. Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
  2. Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
  3. Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a 9   c m ?
Resolução
3.

Dez mensurações são feitas para a resistência de um certo tipo de fio, fornecendo os valores X 1 , X 2 , … X 10 . Suponha-se que X - = 10,48 ohms e s = 1,26 ohms. Vamos supor que X tenha distribuição N ( μ , σ 2 ) e que desejemos obter um intervalo de confiança para μ , com coeficiente de confiança 0,90 .

Resolução
4.

Um revista publicou um artigo que descreve várias caracterésticas de bastões combustíveis usados em um reator pertencente a uma usina nuclear. Medidas da porcentagem de enriquecimento de 12 bastões foram reportados como segue:

2,94       2,75       2,75       2,81

2,90       2,90       2,82       2,95

3,00       2,95       3,00       3,05

Encontre um intervalo de confiança de 99% para o percentual médio de enriquecimento. Você concorda com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%? Por quê?

Resolução
5.

Utilizando uma amostra aleatória com n = 64 , foram obtidos os seguintes valores para a média e variância amostrais:

x ¯ = 11,25

s 2 = 125,56

Para esse caso, construa um intervalo de confiança de nível de confiança 90% para a média populacional, μ .

Resolução
6.

Uma amostra aleatória de tamanho 16 de uma população normal com média µ e variância σ² resultou em ∑ i = 1 16 x i = 24 e ∑ i = 1 16 x ² i = 36,5822 . Construa um intervalo de confiança de 95% para média populacional µ se a variância populacional

a) σ ² = 0,04 ;

b) não é conhecida.

Resolução
7.

Deseja-se estimar a concentração de uma determinada substância indesejada em uma amostra de um produto químico.Devido a imprecisões do aparelho utilizado, que induzem erros de medição supostos normalmente distribuídos, são realizadas diversas repetições do experimento, implicando na obtenção das medidas:

8 ,   80         10 ,   98         11 ,   48         13 ,   42         9 ,   61 ,

expressas na unidade de ppm (partes por milhão). A fim de concatenar tais estimativas em somente uma, mais precisa, o pesquisador considera a média amostral como uma estimativa da concentração da substância indesejada, e para estudar a qualidade da estimação ele considera intervalos de confiança. Para isso, faça o que se pede abaixo:

(a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média amostral supondo que σ   =   2 , ou seja, a incerteza introduzida pelo equipamento é conhecida.

Resolução
8.

Um disparador de partículas realiza o lançamento de partículas idênticas e o tempo com que essas partículas percorrem uma certa distância é normalmente distribuído com média e variância desconhecidas. Com objetivo de estudar propriedades desse disparador, foram lançadas 25 partículas e computado o tempo, em segundos, que cada uma delas levou para percorrer uma distância D . Esses dados seguem abaixo:

9 ,   12 ,   13 ,   15 ,   15 ,   17 ,   18 ,   18 ,   18 ,   19 ,   19 ,   20 ,   20 ,   21 ,   22 ,   24 ,   24 ,   24 ,   25 ,   26 ,   26 ,   27 ,   29 ,   31 ,   33

Denotando por x i as medições acima, temos: ∑ i = 1 25 x i = 525 e ∑ i = 1 25 x i 2 = 11877 .

  1. Construa um intervalo de 95 % de confiança para o tempo médio com que as partículas lançadas percorrem essa distância D . Interprete o significado do intervalo obtido.

Obs.: Note que é possível relacionar quartis com proporções.

Resolução
9.

Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média μ m g de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório N μ , σ 2 , onde σ ² = 2500 . A partir de 100 repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média 200   m g de cloreto.

  1. Calcule o intervalo de confiança de 99 % para μ . Interprete o resultado.
  2. Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de 51 repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a 250   m g e 60   m g . Obtenha o intervalo de confiança de 99 % para o μ que o novo procedimento é capaz de produzir.
  3. Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).
Resolução
10.

Numa indústria foi colhida uma amostra de 40 peças cilíndricas, as quais depois de examinadas apresentaram os seguintes diâmetros (em cm).

1,1   1,1   1,1   1,1   1,1   1,1   1,2   1,2   1,2   1,2   1,2   1,2   1,2   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3  

1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,4   1,4   1,4   1,4   1,4   1,4   1,4   1,5   1,5   1,5   1,5   1,6   1,6   1,6  

Informamos também que ∑ i = 1 40 x i = 52,5 ; ∑ i = 1 40 x i 2 = 69,71 .

(a) Construir um intervalo de confiança (IC) para o diâmetro médio populacional ao nível de 95 % .

Resolução
11.

Você é dono de uma empresa construtora e seleciona aleatoriamente 25 casas construídas recentemente. A média amostral do custo de construção é de $181.000 e do desvio padrão amostral é de $28.000. Assumindo que os custos com a construção são normalmente distribuídos, você deve:

  1. Usar a distribuição normal, a distribuição t de student ou nenhuma delas para construir o intervalo de confiança de 95% para a média populacional dos custos de construção? Explique o raciocínio.
  2. Construir o IC para média populacional dos custos de construção ao nível de confiança de 90%. Detalhe os passos da construção do IC.
Resolução
12.

Suponhamos que se queira estimar, usando intervalo de confiança, o tempo médio que

leva o princípio ativo de um remédio para chegar à corrente sanguínea de um paciente

desde o momento que ele é ingerido.

  1. Suponha inicialmente que a distribuição de X é desconhecida e obtenha um intervalo de confiança de 95% para a média. Suponha que 80 medidas deste tempo X , em segundos, foram feitas e obteve-se:

∑ i = 1 80 x i = 1920       e       ∑ i = 1 80 x i 2 = 48055 .  

Use como valor da variância, o obtido pelo cálculo de s 2 .

Resolução
13.

Suponhamos que se queira estimar, usando intervalo de confiança, o tempo médio que

leva o princípio ativo de um remédio para chegar à corrente sanguínea de um paciente

desde o momento que ele é ingerido.

(b) Suponha agora que somente 25 medidas de X estão disponíveis e obteve-se:

∑ i = 1 25 x i = 600       e       ∑ i = 1 25 x i 2 = 15018 .

Se for possível dizer que X é normalmente distribuída, obtenha um intervalo de confiança

de 95% para a média sem fazer nenhuma suposição sobre o valor da variância de X .

Resolução
14.

Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional ( 177,66 ; 185,5 ) (em c m ).

  1. Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
  2. Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
  3. Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a 9   c m ?
Resolução
15.

Suponha que um professor do curso de engenharia, com objetivo de estudar o tempo, em anos, que os alunos levam para concluírem o curso, selecionou aleatoriamente 144 ex-alunos. Nessa amostra observou-se que a soma dos tempo gastos até a conclusão do curso foi de 750 anos e que a variância amostral teve valor 4 anos². Resolva os itens abaixo:

  1. Determine o intervalo de 96 % de confiança para a média do tempo que os alunos do curso de engenharia levam até concluírem o curso.
  2. Suponha que o professor resolvesse construir um intervalo de 99 % de confiança para essa média, mas com a mesma amplitude do intervalo obtido no item (a). Obtenha um valor aproximado para o novo tamanho amostral que seria necessário para construir tal intervalo.
Resolução
16.

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “ μ ” e variância “ σ ”, ambas desconhecidas.

Seja X = ( 5 ; 7 ; 8 ; 6 ; 9 ; 10 ; 4 ; 7 ) , uma amostra aleatória de tamanho 8 desta população.

Pede-se:

  1. O intervalo de confiança ao nível de significância de 90,0 % , para a média.
Resolução
17.

A força de compressão do concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 8   corpos de prova e obtém os seguintes dados:

2216       2237       2249       2204       2225       2301       2281       2263

  1. Construa um intervalo de 95 % de confiança para a força média.
  2. Construa um intervalo de 95 % de confiança para a força média, supondo que σ = 36 .
Resolução
18.

b) um comprador questionou que o desvio padrão fosse os 10   m m especificaos. Ele fez uma coleta de outra amostra, dessa feita de 22 peças somente que forneceu as estimativas da média e do desvio padrão amostrais de 91   m m e 12   m m , respectivamente. Calcule o novo intervalo de confiança para o diâmetro médio ao mesmo nível de confiança 95 % .

Resolução
19.

Qual a diferença entre as densidade Normal e T - S t u d e n t . Em que situação elas ficam aproximadamente iguais?

Resolução
20.

A resistência à compressão de um tipo de concreto está sendo estimada por um Engenheiro Civil. Ele testa cinco corpos de prova e obtém os seguintes dados:

221       224       225       230       226

Construa um intervalo de confiança de 95 % para a resistência média.

Resolução
21.

Sabe-se que os tempos de falha, X , de um componente eletrônico seguem uma Distribuição Normal. Uma amostra aleatória de dez componentes resultou nos seguintes tempos de falha (em horas):

195       201       183       175       205       192       189       174       201       210

Determine um intervalo de 95 % de confiança para o tempo médio de falha da população de componentes eletrônicos.

Resolução
22.

Qual a diferença entre as densidade Normal e T - S t u d e n t . Em que situação elas ficam aproximadamente iguais?

Resolução
23.

Seja " X " uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² " , ambas desconhecidas. Toma-se um amostra de tamanho " n " igual a 30 de uma determinada população, com média igual a 30 e variância igual a 25 .

Pede-se:

b) O intervalo de confiança de 99 % para a média da normal desta população.

Resolução
24.

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² " , ambas desconhecidas.

Seja X = ( 3 ,   7 ,   2 ,   4 ,   4 ,   9 ,   6 ,   8 ,   5 ,   2 ) , uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população:

Pede-se:

  1. O intervalo de confiança ao nível de significância de 70 % e 90 % , para a " μ " .
Resolução
25.

Deseja-se estimar a concentração de uma determinada substância indesejada em uma amostra de um produto químico.Devido a imprecisões do aparelho utilizado, que induzem erros de medição supostos normalmente distribuídos, são realizadas diversas repetições do experimento, implicando na obtenção das medidas:

8 ,   80         10 ,   98         11 ,   48         13 ,   42         9 ,   61 ,

expressas na unidade de ppm (partes por milhão). A fim de concatenar tais estimativas em somente uma, mais precisa, o pesquisador considera a média amostral como uma estimativa da concentração da substância indesejada, e para estudar a qualidade da estimação ele considera intervalos de confiança. Para isso, faça o que se pede abaixo:

(b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média amostral, agora supondo σ desconhecido, ou seja, no caso em que a incerteza introduzida pelo equipamento de medição é desconhecida.

Resolução
26.

Um fabricante de relógios deseja conhecer a variabilidade do seu produto. Para isso registrou os desvios em segundos de 24 relógios, relativamente a um relógio de alta precisão ocorridos ao fim de um mês e obteve como resultado: média de 0,8 segundos e desvio padrão de 1,5 segundo.

b) Pelos dados do fabricante, qual é o intervalo de confiança para a média dos desvios, considerando um nível de significância de 5%.

Resolução
27.

Um fabricante de baterias para automóveis afirma que a duração de suas baterias é em média de 3 anos, as quais tem uma distribuição normal com um desvio padrão igual a 0,9 anos.Um auditor pega uma amostra de 10 baterias e obteve um desvio padrão de 1,2 anos.

b) Com base nos dados do fabricante e considerando que a média do auditor coincidiu com a do fabricante, qual é o intervalo de confiança para a média se considerarmos um nível de confiança de 99%?

Resolução
28.

Uma amostra de 15 medidores de participação de manganês numa liga de ferro-manganês apresentou uma média de 84 % e desvio padrão de 13 % . Assumindo que a participação nominal da média na liga é de 80 % .

Pede-se:

b) Aumentou-se a amostra para 40 medidores e apresentou como resultados: média de 83 % e desvio padrão de 15 % .

Pergunta-se: qual é o intervalo de confiança ao nível de significância de 96 % , para a Média.

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