Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 102-4.41.

O apoio é composto por um poste sólido de latão vermelho C83400 embutido em um tubo de aço inoxidável 304. Antes da aplicação da carga, a folga entre essas duas partes é 1   m m . Dadas as dimensões mostradas na figura, determine a maior carga axial que pode ser aplicada à tampa rígida A sem provocar o escoamento de qualquer um dos materiais.

Dados: E l a t = 101   G P a , E a ç o = 193   G P a , σ e l a t = 70   M P a & σ e a ç o = 207   M P a .

Dica do expert: Em um exercício com folga entre as peças como esse, é bom verificar se as peças vão chegar a se encostar mesmo ou não.

Passo 1

Nesse exercício, temos:

  • Um poste de latão com comprimento inicial L l a t = 251   m m , módulo de elasticidade E l a t = 101   G P a , e diâmetro d = 60   m m ;
  • E um tubo de aço com comprimento inicial L a ç o = 250   m m , módulo de elasticidade E a ç o = 193   G P a , diâmetro interno d i n t = 80   m m e diâmetro externo d e x t = d i n t + 2 10   m m = 100   m m .

Se o poste de latão for comprimido o suficiente pela carga P , a sua face superior vai começar a se apoiar também no tubo de aço.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente descubra a maior carga P que pode ser feita sem que as tensões nos materiais ultrapassem as suas tensões de escoamento:

σ e l a t = 70   M P a       &       σ e a ç o = 207   M P a

Agora, em um exercício com uma folga entre as peças como esse, é importante verificar se é possível fazer a folga desaparecer.

No nosso caso, precisamos verificar se a variação de comprimento de 1   m m necessária para acabar com a folga já não é suficiente para fazer o poste de latão escoar.

Caso não seja, aí vamos ter a face superior do poste se apoiando no tubo de aço, e o problema vai se tornar um problema estaticamente indeterminado.

Para resolver esse problema estaticamente indeterminado, vamos ter que estudar o equilíbrio de forças nas peças e a compatibilidade das variações de comprimento δ de cada peça.

No nosso caso, temos que para cada x milímetros de compressão no tubo de aço, o poste de latão vai ter que ter tido a mesma compressão mais a folga de 1   m m .

Dessa forma, a nossa equação de compatibilidade vai ser:

δ l a t ,   c o m p r e s s ã o = δ a ç o , c o m p r e s s ã o + 1   m m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, antes de podermos declarar que o exercício é estaticamente indeterminado, precisamos verificar se o latão já não vai escoar antes de encostar no tubo de aço.

Para tanto, vamos avaliar qual é a tensão σ no latão correspondente à variação de comprimento δ = 1   m m .

Para tanto, podemos usar a Lei de Hooke e a definição de deformação ε :

σ = E ε       &       ε = δ L

Juntando essas duas equações, temos que:

σ = E δ L

Para o poste de latão, isso significa que:

σ l a t = E l a t δ l a t L l a t

Sabemos que E l a t = 101   G P a = 101000   M P a e que L l a t = 251   m m .

Além disso, para avaliar qual é a tensão σ no latão correspondente à variação de comprimento δ = 1   m m , devemos substituir δ l a t = 1   m m .

Substituindo esses valores e calculando tudo, encontramos que:

σ l a t = 402,39   M P a

Vemos que essa tensão é bem maior que a tensão de escoamento do latão, σ e l a t = 70   M P a .

Isso significa que a carga máxima permitida no nosso conjunto vai ocorrer enquanto o latão ainda não encostou no tubo de aço.

Sendo assim, não nos precisamos nos preocupar com toda a parte estaticamente indeterminada do exercício para resolver ele!

Passo 3

Para determinar a carga P máxima que pode ser aplicada no poste, vamos usar a condição:

σ l a t ≤ σ e l a t

(Ou seja, queremos que a tensão normal no latão seja menor ou igual à tensão de escoamento desse material.)

Usando a fórmula da tensão normal média σ = N / A para descrever a tensão no latão, a nossa condição fica assim:

N l a t A l a t ≤ σ e l a t

Como só queremos avaliar a intensidade da tensão σ l a t , não precisamos nos preocupar com o sinal da força interna normal N l a t .

Se a única força atuando no poste de latão é a força P de compressão, vamos ter então que a força normal N l a t vai ter uma intensidade P .

Além disso, a área A l a t da seção transversal do poste pode ser encontrada a partir do diâmetro d do poste usando a fórmula:

A l a t = π d 2 4

Dessa forma, a nossa condição fica assim:

P π d 2 4 ≤ σ e l a t

Isolando P , temos que:

P ≤ π d 2 4 σ e l a t

Substituindo os valores d = 60   m m e σ e l a t = 70   M P a = 70   N / m m 2 , temos que:

P ≤ π 60   m m 2 4 70   N / m m 2

Calculando tudo, isso nos diz que:

P ≤ 197920   N

Ou seja, a força P máxima que pode ser aplicada no poste é:

P = 197920   N ≅ 198   k N

E assim está resolvido o exercício!

Caso não tivéssemos verificado se o poste ia encostar no tubo de aço, poderíamos acabar não percebendo isso depois e resolvendo o exercício de uma forma errada.

Resposta

P = 198   k N

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