Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Elaboração própria

Determine o valor das reações causadas pela peça submetida ao carregamento mostrado abaixo. Use E = 50 M P a e considere a seção da peça quadrada com dimensões (20x20)cm.

Passo 1

Como podemos ver, nesse tipo de questão precisamos determinar as reações de apoio. Para determinarmos essas reações de apoio precisamos saber se o nosso problema é isostático ou se é um problema estaticamente indeterminado. Como temos duas paredes no nosso problema, podemos desconfiar que talvez seja a segunda opção.

Para termos certeza que se trata de um problema estaticamente indeterminado, precisamos definir o diagrama de corpo livre e fazer o balanceamento entre o número de incógnitas e o número de equações, então vamos lá

Fazendo o somatório de forças teremos que

∑ F = 0

R a + R b - 70 - 80 = 0

R a + R b = 150

Como podemos ver temos duas incógnitas ( R a , R b ) e uma única equação ( R a + R b = 150 ), logo de fato se trata de um problema estaticamente indeterminado. Sabemos então, que para resolve-lo precisamos do que chamamos de equação de compatibilidade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que lembrar que a nossa equação de compatibilidade terá como fórmula a nossa equação de deformação total, dada por

δ = N   . L E   .   A

Mas onde ela será usada?

Ai que entra a nossa relação de deformação, ou seja, a deformação da nossa barra deve ser igual a deformação total máxima que ela pode ter, que pode ser dada por

δ A D = δ t o t a l

O que precisamos saber primeiro: como as paredes são indeslocaveis a deformação total máxima possível para a nossa barra é zero, logo

δ t o t a l = 0

O que devemos saber por segundo é que a deformação do trecho AD é composto de três parcelas, uma do trecho AB, uma do trecho BC e por fim do trecho CD. Logo podemos escrever a nossa equação de compatibilidade como.

δ A B + δ B C + δ C D = 0

Colocando tudo em termos do que já temos e também usando a nossa fórmula de deformação total teremos que

N A B . L A B E   .   A +   N B C . L B C E   .   A + N C D . L C D E   .   A = 0

Sabemos que como a barra é homogênea, tanto a área quanto o módulo de elasticidade são iguais nos três trechos. Também sabemos facilmente determinar o valor de cada comprimento que é dado no desenho. Então o que falta é apenas determinar o valor dos normais.

Passo 3

Como só falta determinar o normal, basta apenas que cortemos as barras e façamos o equilíbrio da nossa peça.

Primeiro normal do trecho AB

Fazendo o equilíbrio teremos que

N A B + R b - 70 - 80 = 0

N A B = 150 -   R b

Normal do trecho BC

Fazendo o equilíbrio teremos que

N B C + R b - 80 = 0

N B C = 80 - R b

Normal do trecho CD

Fazendo o equilíbrio teremos que

N C D + R b = 0

N C D = - R b

Passo 4

Agora que já temos os valores dos normais vamos substituir na nossa equação

N A B . L A B E   .   A +   N B C . L B C E   .   A + N C D . L C D E   .   A = 0

( 150 -   R b ) . L A B E   .   A +   ( 80 - R b ) . L B C E   .   A + ( - R b ) . L C D E   .   A = 0

Agora vamos isolar os valores de R b

150 . L A B E   .   A - R b . L A B E   .   A +   80 . L B C E   .   A - R b . L B C E   .   A - R b . L C D E   .   A = 0

150 . L A B E   .   A +   80 . L B C E   .   A = R b . L A B E   .   A +   R b . L B C E   .   A + R b . L C D E   .   A

150 . L A B E   .   A +   80 . L B C E   .   A = R b E   .   A ( L A B +   L B C + L C D )

Podemos cortar E A

150 . L A B + 80 . L B C = R b L

Isolando teremos que

150 . L A B + 80 . L B C L = R b

Agora é só calcularmos o valor de R b

Passo 5

Sabemos que

L A B = 80 c m

L B C = 100 c m

L = 80 + 100 + 90 = 270   c m

Substituindo teremos que

150 . L A B + 80 . L B C L = R b

150   .   80 + 80   .   100 270 = R b

R b = 74,07   K N

Como já sabemos qual é a nossa primeira equação, basta substituir nela para descobrimos o valor de R a

R a + R b = 150

R a + 74,07 = 150

R a = 75,93   K N

Resposta

R b = 74,07   K N

R a = 75,93   K N

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