Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 101-2.46.

A barra rígida A B C D é suportada por quatro fios idênticos. Determine a tração em cada fio causada pela carga P mostrada.

Passo 1

Temos uma barra rígida A B C D carregada com uma força P e sustentada por 4 fios igualmente espaçados por uma distância L .

Fazendo o diagrama de corpo livre dessa barra, vemos que a força P é equilibrada pelas forças de tração dos 4 fios:

O exercício quer saber o valor dessas trações T A , T B , T C e T D .

Para fazer isso, o primeiro passo é aplicar as condições de equilíbrio na barra para tentar relacionar as forças de tração com a carga P .

Mas só temos duas equações de equilíbrio que podem ser usadas aqui (o equilíbrio de forças na vertical e o equilíbrio de momentos).

Ou seja, as condições de equilíbrio não serão o suficiente para encontrar as quatro trações desconhecidas.

Para complementar as equações de equilíbrio, vamos precisar imaginar como vão ser as variações de comprimento δ .

Assim, vamos conseguir encontrar as equações de compatibilidade desse problema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar aplicando as condições de equilíbrio na barra A B C D !

Primeiro, podemos aplicar o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Fazendo esse somatório, encontramos que:

T A + T B + T C + T D - P = 0

Ou seja:

T A + T B + T C + T D = P       (Equação 1)

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos.

Escolhendo avaliar os momentos em relação ao ponto C , temos:

∑ M C = 0

Olhando para o diagrama de corpo livre que fizemos no Passo 1, conseguimos identificar os seguintes momentos em relação ao ponto C :

  • Um momento no sentido horário ( - ) gerado pela tração T A com um braço 2 L ;
  • Outro momento no sentido horário ( - ), dessa vez gerado por T B e com um braço L ;
  • E um momento no sentido anti-horário ( + ) gerado por T D com um braço L .

Dessa forma, o nosso somatório de momentos fica assim:

- T A 2 L - T B L + T D L = 0

Dividindo tudo por L e isolando T D , temos que:

T D = 2 T A + T B       (Equação 2)

Passo 3

Se temos 4 trações T desconhecidas mas somente 2 equações de equilíbrio, precisamos encontrar 2 equações de compatibilidade para podermos determinar todas as trações.

Para tanto, vamos imaginar como as variações de comprimento δ de cada fio vão afetar o posicionamento da nossa barra:

A partir dessas variações, podemos desenhar três triângulos:

Fazendo uma semelhança de triângulos entre o triângulo menor e o triângulo médio, temos que:

( δ B - δ A ) L = δ C - δ A 2 L

Multiplicando tudo por 2 L , isso fica assim:

2 δ B - 2 δ A = δ C - δ A

Isolando δ C , encontramos a nossa primeira equação de compatibilidade:

δ C = 2 δ B - δ A

Fazendo outra semelhança de triângulos, dessa vez entre o triângulo menor e o triângulo maior, temos que:

( δ B - δ A ) L = δ D - δ A 3 L

Multiplicando tudo por 3 L e isolando δ D , encontramos nossa segunda equação de compatibilidade:

δ D = 3 δ B - 2 δ A

Passo 4

Do jeito como encontramos no passo anterior, as equações de compatibilidade δ C = 2 δ B - δ A e δ D = 3 δ B - 2 δ A ainda não são muito úteis.

Para que elas sejam úteis, precisamos usar elas para relacionar as trações T nos fios.

Então vamos pensar...

A variação de comprimento δ em um fio pode ser obtida pela fórmula:

δ = N L E A

Nos nossos fios, a força interna normal N vai ser sempre igual à tração T , ou seja:

δ = T L E A

Agora, o termo L / E A é igual para todos os fios, afinal, todos os fios são idênticos, a única coisa que muda entre eles é a tração T .

Podemos dizer que esse termo L / E A é uma constante k de tal forma que a relação abaixo vale para qualquer um dos nossos fios:

δ = T * k

Sendo assim...

As equações de compatibilidade podem ser reescritas em função das trações T em cada fio.

A equação δ C = 2 δ B - δ A pode ser reescrita assim:

( T C k ) = 2 T B k - T A k

O que significa que:

T C = 2 T B - T A       (Equação 3)

Da mesma forma, a equação δ D = 3 δ B - 2 δ A vai significar que:

T D = 3 T B - 2 T A       (Equação 4)

Passo 5

Agora sim temos 4 equações relacionando as quatro trações desconhecidas T 1 , T 2 , T 3 e T 4 !

Com isso, só falta combinar essas equações para encontrar o valor individual de cada uma.

Primeiro, unindo a Equação 2 e a Equação 4, temos que:

2 T A + T B = 3 T B - 2 T A

Passando tudo para a esquerda, temos:

2 T A + 2 T A + T B - 3 T B = 0

4 T A - 2 T B = 0

Isolando T A , encontramos que:

T A = T B 2       (Equação 5)

Vamos guardar essa relação como a Equação 5! 😊

Além disso, podemos pegar a Equação 1:

T A + T B + T C + T D = P

E substituir nela as Equações 2 e 3:

T A + T B + 2 T B - T A + 2 T A + T B = P

Arrumando isso, encontramos que:

2 T A + 4 T B = P

Substituindo a Equação 5 aqui, isso fica assim:

2 T B 2 + 4 T B = P

O que significa que:

5 T B = P

T B = 1 5 P

Encontrado T B , podemos usar a Equação 5 para encontrar T A :

T A = T B 2 = 1 5 P 2

T A = 1 10 P

Encontrados T A e T B , podemos usar a Equação 2 para encontrar T D :

T D = 2 T A + T B = 2 1 10 P + 1 5 P

T D = 2 5 P

E, finalmente, encontrados T A , T B e T D , podemos usar a Equação 1 para encontrar T C :

T A + T B + T C + T D = P

T C = P - T A - T B - T D

T C = P - 1 10 P - 1 5 P - 2 5 P

T C = 3 10 P

E assim está resolvido o nosso exercício!

Resposta

T A = 1 10 P

T B = 1 5 P

T C = 3 10 P

T D = 2 5 P

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