Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Elaboração própria

A barra de aço abaixo está distante 2cm da parede a sua direita. Determine as reações da parede quando a barra for submetida ao carregamento mostrado abaixo. Use E = 40 M P a e considere a área da seção como uma área quadrada de dimensões (25x25)cm.

Passo 1

Como podemos ver, nesse tipo de questão precisamos determinar as reações de apoio. Para determinarmos essas reações de apoio precisamos saber se o nosso problema é isostático ou se é um problema estaticamente indeterminado. Como temos duas paredes no nosso problema, podemos desconfiar que talvez seja a segunda opção.

Para termos certeza que se trata de um problema estaticamente indeterminado, precisamos definir o diagrama de corpo livre e fazer o balanceamento entre o número de incógnitas e o número de equações, então vamos lá

Fazendo o somatório de forças teremos que

∑ F = 0

Vamos considerar para direita positivo e para esquerda negativo, se no final a resposta tiver sinal negativo significa que a direção que escolhemos na verdade é contraria, logo teremos que

R a - R b + 125 - 40 = 0

R a - R b = - 125 + 40 = - 85

Como podemos ver temos duas incógnitas ( R a , R b ) e uma única equação ( R a - R b = - 85 ), logo de fato se trata de um problema estaticamente indeterminado. Sabemos então, que para resolve-lo precisamos do que chamamos de equação de compatibilidade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que lembrar que a nossa equação de compatibilidade terá como fórmula a nossa equação de deformação total, dada por

δ = N   . L E   .   A

Mas onde ela será usada?

Ai que entra a nossa relação de deformação, ou seja, a deformação da nossa barra deve ser igual a deformação total máxima que ela pode ter, que pode ser dada por

δ A D = δ t o t a l

O que precisamos saber primeiro: a nossa barra sofre um deslocamento total máximo de 2cm

δ t o t a l = 2 c m

O que devemos saber por segundo é que a deformação do trecho AD é composto de três parcelas, uma do trecho AB, uma do trecho BC e por fim do trecho CD. Logo podemos escrever a nossa equação de compatibilidade como.

δ A B + δ B C + δ C D = 2

Colocando tudo em termos do que já temos e também usando a nossa fórmula de deformação total teremos que

N A B . L A B E   .   A +   N B C . L B C E   .   A + N C D . L C D E   .   A = 2

Sabemos que como a barra é homogênea, tanto a área quanto o módulo de elasticidade são iguais nos três trechos. Também sabemos facilmente determinar o valor de cada comprimento que é dado no desenho. Então o que falta é apenas determinar o valor dos normais.

Passo 3

Como só falta determinar o normal, basta apenas que cortemos as barras e façamos o equilíbrio da nossa peça.

Primeiro normal do trecho AB

Fazendo o equilíbrio teremos que

- N A B - R b - 40 + 125 = 0

N A B = 85 -   R b

Normal do trecho BC

Fazendo o equilíbrio teremos que

- N B C - R b + 125 = 0

N B C = 125 - R b

Normal do trecho CD

Fazendo o equilíbrio teremos que

- N C D - R b = 0

N C D = - R b

Passo 4

Agora que já temos os valores dos normais vamos substituir na nossa equação

N A B . L A B E   .   A +   N B C . L B C E   .   A + N C D . L C D E   .   A = 2

( 85 -   R b ) . L A B E   .   A +   ( 125 - R b ) . L B C E   .   A + ( - R b ) . L C D E   .   A = 2

Agora vamos isolar os valores de R b

85 . L A B E   .   A - R b . L A B E   .   A +   125 . L B C E   .   A - R b . L B C E   .   A - R b . L C D E   .   A = 2

85 . L A B E   .   A +   125 . L B C E   .   A = 2 + R b . L A B E   .   A +   R b . L B C E   .   A + R b . L C D E   .   A

85 . L A B E   .   A +   125 . L B C E   .   A = 2 + R b E   .   A ( L A B +   L B C + L C D )

Podemos multiplicar todos os termos por E A

85 . L A B + 125 . L B C = 2 E A + R b L

Isolando teremos que

85 . L A B + 125 . L B C - 2 E A L = R b

Agora é só calcularmos o valor de R b

Passo 5

Sabemos que

L A B = 20 c m

L B C = 80 c m

L = 20 + 80 + 60 = 160   c m

E = 40 M P a = 40000 K N m 2

A = 0,25   .   0,25 = 0,0625   m 2

Quando multiplicarmos EA teremos a resposta em KN

Substituindo teremos que

85   .   20 + 125   .   80 - 2.40000.0,0625 160 = R b

R b = 6700 160 = 41,87   K N

Como já sabemos qual é a nossa primeira equação, basta substituir nela para descobrimos o valor de R a

R a - R b = - 85

R a - 41,87 = - 85

R a = - 43,13   K N

Resposta

R b = 41,87   K N

R a = - 43,13   K N

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