Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 104-4.51.

O conjunto é composto por um parafuso de aço A-36 e um tubo de latão vermelho C83400. Se a porca for apertada contra o tubo de modo que L = 75   m m , e quando girada um pouco mais, avance 0,02   m m no parafuso, determine a força no parafuso e no tubo. O parafuso tem diâmetro de 7   m m e o tubo tem área de seção transversal de 100   m m 2 .

Dados: E a ç o = 200   G P a , E l a t = 101   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

Temos um parafuso de aço e um tubo de latão com módulos de elasticidade E a ç o = 200   G P a e E l a t = 101   G P a , respectivamente.

O parafuso tem uma seção transversal com diâmetro d = 7   m m enquanto que o tubo de latão tem uma área de seção transversal A l a t = 100   m m 2 .

Inicialmente, as duas peças tem um comprimento L = 75   m m e não estão tensionadas.

Quando a porca avança 0,02   m m no parafuso, ela e a cabeça do parafuso comprimem o tubo de latão com uma força F :

Como reação à essa compressão, o tubo de latão empurra a porca e a cabeça do parafuso de volta com forças de mesma intensidade F , o que gera uma tração F no parafuso:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre o valor dessa força F no parafuso e no tubo.

Como a força F é a única força atuando nessas peças (não temos nenhuma força externa), não adianta usar as condições de equilíbrio.

Então vamos ter que recorrer a uma equação de compatibilidade para resolver o exercício.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para entender como vai ser a equação de compatibilidade nesse exercício, vamos ter que pensar no que a porca faz ao avançar no parafuso.

Pensa aí...

Se o parafuso fosse rígido (não se deformasse), a porca teria que comprimir o tubo de latão 0,02   m m para poder avançar essa quantidade na rosca do parafuso.

Por outro lado, se o tubo de latão fosse rígido, a porca teria que esticar o parafuso 0,02   m m para poder avançar essa quantidade na sua rosca.

Mas, no nosso caso, tanto o parafuso quanto o tubo se deformam...

Então isso significa que, somando o encurtamento do tubo e o alongamento do parafuso, a porca tem que gerar uma variação de comprimento total de 0,02   m m nas peças.

Dessa forma, encontramos a nossa equação de compatibilidade:

δ a ç o , t r a ç ã o + δ l a t ,   c o m p = 0,02   m m

Onde:

  • δ a ç o , t r a ç ã o é a intensidade do alongamento do parafuso de aço por causa da tração F ;
  • E δ l a t , c o m p é a intensidade do encurtamento do tubo de latão devido à compressão F .

Passo 3

Agora que temos a nossa equação de compatibilidade, precisamos de alguma forma usar ela para encontrar o valor do carregamento F nas peças.

Para tanto, podemos usar a fórmula que nos dá a variação de comprimento δ em função do carregamento em uma peça:

δ = N L E A

Usando isso e tendo em mente que tanto o parafuso de aço quanto o tubo de latão têm o mesmo comprimento inicial L . a nossa equação de compatibilidade fica assim:

N a ç o , t r a ç ã o   L E a ç o   A a ç o + N l a t ,   c o m p   L E l a t   A l a t = 0,02   m m

As forças internas normais de tração no parafuso de aço e de compressão no tubo de latão vão ser iguais à força F nessas peças.

Além disso, a área A a ç o da seção transversal do parafuso pode ser encontrada a partir de seu diâmetro d = 7   m m usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Fazendo essas substituições, temos que:

F L E a ç o π d 2 4 + F L E l a t A l a t = 0,02   m m

Arrumando tudo, isso fica assim:

4 F L E a ç o π d 2 + F L E l a t A l a t = 0,02   m m

Passo 4

Como o que queremos é encontrar o valor da força F nas peças, só nos resta agora isolar F na expressão que acabamos de encontrar.

Colocando F L em evidência, temos que:

F L 4 E a ç o π d 2 + 1 E l a t A l a t = 0,02   m m

Isolando F , encontramos:

F = 0,02   m m L * 1 4 E a ç o π d 2 + 1 E l a t A l a t

Se substituirmos nessa expressão:

  • L = 75   m m ;
  • E a ç o = 200   G P a = 200   k N / m m 2 ;
  • E l a t = 101   G P a = 101   k N / m m 2 ;
  • d = 7   m m ;
  • E A l a t = 100   m m 2

Vamos ter que o resultado de F vai sair em k N , já que todos esses valores já estão em função das mesmas unidades ( k N e m m ).

Dessa forma, fazendo essas substituições e calculando tudo, encontramos nossa resposta:

Resposta

F = 1,16   k N

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