Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 91-4.2.

A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. Determine o deslocamento vertical de sua extremidade, A , se P 1 = 200   k N , P 2 = 310   k N e a coluna tiver área de seção transversal de 14625   m m 2 .

Dados: E = 200   G P a .

Passo 1

Os pares de forças P 1 = 200   k N e P 2 = 310   k N estão comprimindo a coluna A B C , que possui uma área de seção transversal A = 14625   m m 2 e um módulo de elasticidade E = 200   G P a .

O exercício quer saber o deslocamento δ A da extremidade A .

Para encontrar esse deslocamento, podemos:

  • Encontrar as forças normais N e as variações de comprimento δ = N L / E A nos trechos A B e B C . Nesse caso, vamos ter que δ A = δ A B + δ B C ;
  • Ou calcular individualmente as variações de comprimento δ 1 e δ 2 causadas pelos pares de forças P 1 e P 2 , respectivamente, e usar o princípio da superposição para definir que δ A = δ 1 + δ 2 .

Aproveitando esse exercício para treinar o princípio da superposição, vamos utilizar o segundo método!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando o princípio da superposição, podemos calcular individualmente as deformações δ 1 e δ 2 , causadas pelos pares de forças P 1 e P 2 , respectivamente.

E, depois, podemos somar esses efeitos para encontrar a deformação total na coluna:

Dessa superposição de efeitos, encontramos que:

δ A = δ 1 + δ 2

Então nos resta encontrar as deformações δ 1 e δ 2 causadas por cada carregamento.

Passo 3

Para encontrar a deformação δ 1 causada pelas forças P 1 , vamos pensar na situação em que só as forças P 1 estão atuando:

Nesse caso, a coluna vai ser um grande segmento de comprimento L 1 = 7,2   m , área de seção transversal A e módulo de elasticidade E .

Além disso, como as únicas forças atuando são as duas forças P 1 de compressão, vamos ter que a força normal na coluna vai ser N 1 = - 2 P 1 .

Daí que para encontrar a variação de comprimento δ 1 , podemos usar a fórmula δ = N L / E A , de tal forma que:

δ 1 = N 1 L 1 E A = - 2 P 1 L 1 E A

Passo 4

De forma análoga ao passo passado, vamos agora pensar no caso em que somente as forças P 2 estão atuando:

Nesse caso, a coluna vai ser composta por dois segmentos A B e B C , ambos com uma área de seção transversal A , módulo de elasticidade E e comprimento L 2 = 3,6   m .

Dessa forma, a variação de comprimento δ 2 na coluna vai ser igual à soma das variações de comprimento de cada segmento:

δ 2 = ∑ δ = ∑ N L E A

Fazendo essa soma, temos que:

δ 2 = N A B L 2 E A + N B C L 2 E A

Agora, enquanto que o segmento B C vai ter uma força normal N B C = - 2 P 2 , o segmento A B não vai estar carregado, e vai ter assim uma força normal N A B nula.

Com isso, encontramos que:

δ 2 = 0 L 2 E A + - 2 P 2 L 2 E A

δ 2 = - 2 P 2 L 2 E A

Passo 5

Por fim, aplicando a fórmula que tínhamos encontrado anteriormente para superposição dos efeitos, temos que:

δ A = δ 1 + δ 2

Substituindo as expressões encontradas para δ 1 e δ 2 :

δ A = - 2 P 1 L 1 E A + - 2 P 2 L 2 E A

Arrumando, isso fica assim:

δ A = - 2 ( P 1 L 1 + P 2 L 2 ) E A

Substituindo P 1 = 200   k N , L 1 = 7,2   m , P 2 = 310   k N , L 2 = 3,6   m , E = 200   G P a e A = 14625   m m 2 , temos que:

δ A = - 2 200   k N 7,2   m + 310   k N 3,6   m 200   G P a 14625   m m 2

Para calcular isso, precisamos prestar atenção nas unidades.

Nesse caso, podemos nos lembrar que G P a é o mesmo que k N / m m 2 . Assim, as unidades k N e m m 2 se cortam e o resultado final sai em m , que é a unidade que vai sobrar.

Calculando tudo, encontramos então que:

δ A = - 0 , 00174769   m

Esse número é bem pequeno, então podemos reescrevê-lo em m m na hora de darmos a resposta:

Resposta

δ A = - 1,74769   m m

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