Exercícios Resolvidos de Problemas Estaticamente Indeterminados

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 99-2.35.

Forças de compressão centradas de 178   k N são aplicadas em ambas as extremidades do conjunto mostrado na figura por meio de placas rígidas. Sabendo que E a ç o = 200   G P a e E a l u m = 69,6   G P a , determine ( a ) as tensões normais no núcleo de aço e no tubo de alumínio e ( b ) a deformação do conjunto.

Passo 1

Nesse exercício, temos:

  • Um núcleo de aço com diâmetro d = 25,4   m m e módulo de elasticidade E a ç o = 200   G P a ;
  • E um tubo de alumínio com diâmetro interno d = 25,4   m m , diâmetro externo d e x t = 63,5   m m e módulo de elasticidade E a l u m = 69,6   G P a .

Essas duas peças têm um comprimento original L = 254   m m e estão sendo comprimidas por uma força P = 178   k N por meio de placas rígidas nas suas extremidades:

Além disso, ainda temos que essa compressão por meio de placas rígidas vai causar aço e no alumínio variações de comprimento δ a ç o e δ a l u m iguais:

No item ( a ) , o exercício quer que a gente encontre as tensões normais σ em cada peça, que vão ser dadas pela fórmula da tensão normal média σ = N / A .

O primeiro passo vai ser fazer um DCL (diagrama de corpo livre) das peças para identificar as forças atuando no aço e no alumínio.

Como as condições de equilíbrio não vão ser suficientes para achar as incógnitas desse DCL, vamos ter que usar também a condição de compatibilidade δ a ç o = δ a l u m .

Finalmente, uma vez que tivermos encontrado as forças atuando em cada peça, vamos poder calcular as tensões σ nelas.

Já no item ( b ) , o exercício quer saber a deformação ε do conjunto.

Como as duas peças tem comprimentos originais L e variações de comprimento δ iguais, a deformação ε = δ / L nelas vão ser iguais.

Assim, podemos usar a tensão σ e o módulo de elasticidade E de qualquer uma das peças para encontrar a deformação ε do conjunto usando a Lei de Hooke σ = E ε .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começamos fazendo o diagrama de corpo livre das peças presentes no exercício:

Com isso, percebemos que uma porção P a ç o da força P de compressão é suportada pelo aço e outra porção P a l u m é suportada pelo alumínio.

Aplicando as condições de equilíbrio para as placas rígidas, temos que o somatório de forças na horizontal dessas placas deve ser igual a zero:

F H = 0

O que significa que:

P - P a ç o - P a l u m = 0

P a ç o + P a l u m = P

O que já era esperado.

Mas infelizmente, essa única equação não é o suficiente para que a gente consiga encontrar as incógnitas P a ç o e P a l u m .

Então vamos precisar de uma equação de compatibilidade para complementar essa equação.

Passo 3

Pensando em como as nossas peças vão se deformar:

Conseguimos identificar a equação de compatibilidade:

δ a ç o = δ a l u m

Agora, essa equação de compatibilidade escrita dessa forma não tem muita utilidade para a gente.

Precisamos conseguir descrever as variações de comprimento δ a ç o e δ a l u m em função dos carregamentos nessas peças.

Mas lembra aí!

Existe uma fórmula que nos fornece essas variações de comprimento δ a partir do carregamento em uma peça:

δ = N L E A

(É a fórmula que vem da combinação das definições da tensão normal média σ = N / A e da deformação ε = δ / L com a Lei de Hooke σ = E ε .)

Aplicando essa fórmula para as nossas variações de comprimento, temos que:

N a ç o L a ç o E a ç o A a ç o = N a l u m L a l u m E a l u m A a l u m

Nessa equação, conseguimos observar que:

  • A força normal N a ç o vai ser igual a menos a força P a ç o de compressão no aço;
  • Da mesma forma, a força normal no alumínio vai ser N a l u m = - P a l u m ;
  • Tanto o núcleo de aço quanto o tubo de alumínio possuem o mesmo comprimento inicial L , então os termos L a ç o e L a l u m vão se cortar;
  • A área do núcleo de aço pode ser encontrada em função de seu diâmetro d usando a fórmula A = π d 2 / 4 ;
  • E, por último, a área do tubo de alumínio é igual à área do círculo externo π d e x t 2 / 4 menos a área do círculo interno π d 2 / 4 .

Fazendo todas essas operações, aquela expressão fica assim:

- P a ç o E a ç o π d 2 4 = - P a l u m E a l u m π d e x t 2 4 - π d 2 4

Multiplicando os dois lados por π / 4 , temos:

- P a ç o E a ç o d 2 = - P a l u m E a l u m d e x t 2 - d 2

O que significa que:

P a ç o = E a ç o E a l u m d 2 d e x t 2 - d 2 * P a l u m

Substituindo os valores E a ç o = 200   G P a , E a l u m = 69,6   G P a , d = 25,4   m m e d e x t = 63,5   m m e calculando tudo, encontramos que:

P a ç o = 0 , 5473   P a l u m

Passo 4

Agora que temos uma relação entre as incógnitas P a ç o e P a l u m além da relação que veio do equilíbrio de forças...

P a ç o + P a l u m = P

...conseguimos unir essas duas relações para encontrar os valores de P a ç o e P a l u m .

Substituindo P a ç o = 0,5473   P a l u m na relação que veio do equilíbrio de forças, temos que:

0,5473   P a l u m + P a l u m = P

O que significa que:

P a l u m = P 1,5473

Como P é igual a 178   k N , encontramos que:

P a l u m = 115,04   k N

E, como P a ç o = 0,5473   P a l u m , isso significa que:

P a ç o = 0,5473 ( 115,04   k N )

P a ç o = 62,96   k N

Passo 5

Agora que conhecemos os carregamentos em cada peça, podemos calcular as tensões normais médias σ = N / A para cada peça.

Para o núcleo de aço, temos:

σ a ç o = N a ç o A a ç o

Já vimos anteriormente que A a ç o = π d 2 / 4 e que N a ç o = - P a ç o , então temos que:

σ a ç o = - P a ç o π d 2 4

Substituindo os valores P a ç o = 62,96   k N e d = 25,4   m m , isso dá:

σ a ç o = - 0,1243   k N / m m 2 = - 0,1243   G P a

Como esse número é um pouco pequeno, podemos reescrever essa tensão em M P a :

σ a ç o = - 124,3   M P a

Já para o tubo de alumínio, temos:

σ a l u m = N a l u m A a l u m

No passo 3, vimos que N a l u m = - P a l u m e A a l u m = π d e x t 2 / 4 - π d 2 / 4 , então:

σ a l u m = - P a l u m π d e x t 2 4 - π d 2 4

Substituindo P a l u m = 115,04   k N , d = 25,4   m m e d e x t = 63,5   m m e calculando tudo, encontramos:

σ a l u m = - 0 , 0432   k N / m m 2 = - 0,0432   G P a

E, finalmente, reescrevendo em M P a encontramos que:

σ a l u m = 43,2   M P a

Passo 6

Resolvido o item ( a ) , seguimos para o item ( b ) !

No item ( b ) , queremos saber a deformação ε do conjunto, que é a deformação sofrida tanto pelo aço quanto pelo alumínio.

Escolhendo por aplicar a Lei de Hooke para o aço, temos:

σ a ç o = E a ç o ε

Isolando ε :

ε = σ a ç o E a ç o

Substituindo σ a ç o = - 124,3   M P a e E a ç o = 200   G P a , temos que:

ε = ( - 124,3   M P a ) ( 200   G P a ) = - 0,1243   G P a 200   G P a

Calculando isso, encontramos nossa resposta:

ε = - 0 , 0006215

Se quisermos, ainda podemos escrever essa resposta com uma unidade de deformação como m / m ou m m / m m .

Resposta

a   σ a ç o - 124 , 3   M P a ,   σ a l u m - 43,2   M P a

b   ε = - 0 , 0006215   m m / m m

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