Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

b) Considere em M 2 × 2 R o produto interno: a b c d ,   e f g h = 2 a e + b f + 2 c g + d h .   Encontre um conjunto ortogonal, usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, a partir deste: 1 0 1 0 , 2 1 0 1 , 2 0 2 6 .

Passo 1

Chamando 1 0 1 0 de v 1 , 2 1 0 1   de v 2 e 2 0 2 6 de v 3 , aplicamos o processo de Gram-Schmidt:

v 1 ' = v 1 = 1 0 1 0

v 2 ' = v 2 - < v 2 , v 1 ' > < v 1 ' , v 1 ' > v 1 ' = 2 1 0 1 - 4 4 1 0 1 0 = 1 1 - 1 1

v 3 ' = v 3 - < v 3 , v 2 ' > < v 2 ' , v 2 ' > v 2 ' - < v 3 , v 1 ' > < v 1 ' , v 1 ' > v 1 ' = 2 0 2 6 - 6 6 1 1 - 1 1 - 8 4 1 0 1 0 = - 1 - 1 1 5

Logo, meu conjunto ortogonal é 1 0 1 0 , 1 1 - 1 1 , - 1 - 1 1 5

Resposta

1 0 1 0 , 1 1 - 1 1 , - 1 - 1 1 5

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26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a