Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Obtenha uma base ortogonal para o espaço coluna da matriz A :

A = 12 - 51 4 6 167 - 68 - 4 24 - 41

Passo 1

O espaço coluna da matriz A são os vetores que formam suas colunas, ou seja:

v 1 = ( 12 ,   6 ,   - 4 ) v 2 = - 51 ,   167 ,   24 v 3 = ( 4 ,   - 68 ,   - 41 )

Para ortonormalizar a base, vamos usar o processo de Gram Schmidt.

Queremos uma base ortonormal β = { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } , sendo que:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 ,   w 1 w 1 ,   w 1 . w 1

w 3 = v 3 - v 3 ,   w 1 w 1 ,   w 1 . w 1 - v 3 ,   w 2 w 2 ,   w 2 . w 2

Então bora lá fazer esses cálculos e encontrar a base ortonormal :D

Passo 2

Temos que:

w 1 = ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 :

w 2 = - 51 ,   167 ,   24 - - 51 ,   167 ,   24 , ( 12 ,   6 ,   - 4 ) 12 ,   6 ,   - 4 ,   ( 12 ,   6 ,   - 4 ) . ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 = - 51 ,   167 ,   24 - - 612 + 1002 - 96 144 + 36 + 16 . ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 = - 51 ,   167 ,   24 - 296 196 . ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 = ( - 69 ,   158 ,   30 )

Passo 3

Por fim, para w 3 :

w 3 = ( 4 ,   - 68 ,   - 41 ) - ( 4 ,   - 68 ,   - 41 ) , ( 12 ,   6 ,   - 4 ) 12 ,   6 ,   - 4 ,   ( 12 ,   6 ,   - 4 ) . ( 12 ,   6 ,   - 4 ) - ( 4 ,   - 68 ,   - 41 ) ,   ( - 69 ,   158 ,   30 ) - 69 ,   158 ,   30 ,   ( - 69 ,   158 ,   30 ) . ( - 69 ,   158 ,   30 )

w 3 = - 58 5 , 6 5 ,   - 33

Então, a nossa base ortogonal para o espaço coluna é:

12 ,   6 ,   - 4 ,   - 69 ,   158 ,   30 ,   - 58 5 , 6 5 ,   - 33

Resposta

12 ,   6 ,   - 4 ,   - 69 ,   158 ,   30 ,   - 58 5 , 6 5 ,   - 33

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