Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Seja V = P 2 ( R ) um espaço vetorial munido com o seguinte produto interno:

p x , q ( x ) = ∫ - 1 1 p x q x d x

A partir do conjunto { 1 ,   x + 1 ,   x 2 } , dê uma base ortogonal para V .

Passo 1

Para ortogonalizar o conjunto { 1 ,   x + 1 ,   x 2 } , vamos usar o processo de Gram-Schmidt certo?

Com isso, vamos encontrar uma base β = { u 1 ,   u 2 ,   u 3 } com seus elementos ortogonais dois a dois, vamo lá!

Passo 2

Por Gram-Schmidt, nossa base será formada pelos vetores:

u 1 = 1

u 2 = x + 1 - x + 1 , 1 1 ,   1 1

u 3 = x 2 - x 2 , u 2 u 2 , u 2 u 2 - x 2 , 1 1 , 1 1

Fazendo os cálculos para u 2 :

u 2 = x + 1 - 2 2 1 = x

Já para u 3 :

u 3 = x 2 - x 2 , x x , x x - x 2 , 1 1,1 1

u 3 = x 2 - 0 2 3 x - 2 3 2 1 = x 2 - 2 6

Então, a nossa base ortogonal é β = 1 ,   x ,   x 2 - 2 6

Resposta

β = 1 ,   x ,   x 2 - 2 6

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26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a