Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Seja V um subespaço vetorial munido de um produto interno 〈 ⋅ , ⋅ 〉 e denote por | | ⋅ | | a norma correspondente. Sejam S um subespaço de V de dimensão 2 e B = { v , w } uma base de S tal que v = 2 , w = 2 e v , w = - 1 . Se z ∈ V é tal que p r o j S z B = ( 1,2 ) , então 〈 z ,   w 〉 é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 5
  2. -1
  3. 1
  4. 7
  5. -6

Passo 1

Faaala, galerinha! Para calcular p r o j S z com dim ⁡ S = 2 , temos de ortogonalizar a base B e somar as projeções de z na base ortogonal. Podemos usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schimdtt para isso, tomando uma base B ' = { v ' ,   w ' } :

v ' = v   w ' = w - p r o j v w ⇒

⇒ w ' = w - p r o j v w

= w - w , v v , v v = w - w , v v 2 v

= w - - 1 2 2 v = w + v 4

Logo, B ' = v ,   w + v 4 .

Passo 2

Agora, basta fazermos:

p r o j S z = ∑ b ∈ B '   p r o j b z

= ∑ b ∈ B '   z , b 〈 b , b 〉 b

= z , v 〈 v , v 〉 v + z ,   w + v 4   w + v 4 ,   w + v 4   w + v 4

= z , v 〈 v , v 〉 v + z , w + 1 4 〈 z , v 〉 w , w + 1 2 w , v + 1 16 〈 v , v 〉   w + v 4

= z , v v 2 v + z , w + 1 4 〈 z , v 〉 w 2 + 1 2 w , v + 1 16 v 2     w + v 4

= z , v 2 2 v + z , w + 1 4 〈 z , v 〉 2 2 + 1 2 ( - 1 ) + 1 16 2 2     w + v 4

= z , v 4 v + z , w + 1 4 〈 z , v 〉 15 / 4     w + v 4

Passo 3

Em seguida, queremos chegar nas coordenadas da base B , como em p r o j S z B = ( 1,2 ) . Para isto, basta separarmos os múltiplos de v e w :

p r o j S z = z , v 4 v + 4 15 z , w + 1 15 z , v   w + v 4

= z , v 4 + 1 15 z , w + 1 60 z , v v + 4 15 z , w + 1 15 z , v w

= 1 15 z , w + 4 15 z , v v + 4 15 z , w + 1 15 z , v w

Assim, atentando-nos a ordem das coordenadas – paralela a da base – temos:

p r o j S z B = { v , w } = 1 15 z , w + 4 15 z , v , 4 15 z , w + 1 15 z , v

Passo 4

Agora, basta resolver o sistema produzido pela substituição:

1 15 z , w + 4 15 z , v , 4 15 z , w + 1 15 z , v = ( 1,2 )

Isto é:

z , w + 4 z , v = 15 4 z , w + z , v = 30

Resolvendo por Crammer:

z , w = 15 4 30 1 1 4 4 1 = - 105 - 15 = 7

Resposta

d. 7

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