Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Ver Teoria

Enunciado

Seja W = 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 , determine a projeção ortogonal do vetor ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ∈ R 4 sobre W .

Passo 1

Antes de encontrarmos essa projeção, vamos ortogonalizar a base de W usando Gram-Schmidt, e assim, vamos encontrar uma base ortogonal { w 1 ,   w 2 } na qual vamos calcular a projeção.

Por Gram-Schmidt, temos:

w 1 = 1 ,   0 ,   1 , 1 2

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 ,   w 1 w 1 ,   w 1 . w 1

Bora fazer esses cálculos então! ;D

Passo 2

w 2 vai ser dado por:

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 . 1 ,   0 ,   1 , 1 2

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - - 5 4 9 4 . 1 ,   0 ,   1 , 1 2

Somando os vetores:

w 2 = 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

Então, a nossa base ortogonal é 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 . Agora é só fazermos a projeção :D

Passo 3

A projeção vai ser:

P b H = ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 + ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

P b H = - 1 2 9 4 1 ,   0 ,   1 , 1 2 + 16 9 14 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

Logo:

P b H = 26 63 , 8 7 ,   - 46 63 ,   - 23 63

Resposta

P b H = 26 63 , 8 7 ,   - 46 63 ,   - 23 63

Exercícios de Livros Relacionados

26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a