Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1,0 , - 1,1 ,   v 2 = 0,1 , 0,1 e v 3 = 1,1 , - 1,2 .

Passo 1

a Depois de uma rápida olhada já dá pra perceber que v 3 = v 1 + v 2 , então podemos tirar ele da parada já. Agora aplicando o processo de Ortogonalização de Gram Schmidt:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , - 1,1

w 2 = 0,1 , 0,1 - 0,1 , 0,1 , 1,0 , - 1,1 1,0 , - 1,1 , 1,0 , - 1,1 ⏞ 1 3 1,0 , - 1,1 = 0,1 , 0,1 - 1 3 , 0 , - 1 3 , 1 3 ⇒

⇒ w 2 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , - 1,1 , - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3

Passo 2

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 :

u 1 = w 1 w 1 = 1,0 , - 1,1 3 = 1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3

u 2 = w 2 w 2 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3 1 9 + 9 9 + 1 9 + 4 9 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3 3 15 = - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3 , - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Resposta

1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3 , - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

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26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a