Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Ortonormalizar a base u 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) , u 2 = 1 ,   - 1 ,   1 e u 3 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) do R 3 pelo processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

Para ortonormalizar a base, vamos usar o processo de Gram Schmidt certo?

Vamos chamar a base ortonormal de β = { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } , sendo que:

w 1 = u 1 u 1

w 2 = u 2 - u 2 ,   w 1 . w 1 | u 2 - u 2 ,   w 1 . w 1 |

w 3 = u 3 - u 3 ,   w 1 . w 1 - u 3 ,   w 2 . w 2 u 3 - u 3 ,   w 1 . w 1 - u 3 ,   w 2 . w 2

Para w 2 e w 3 , primeiro vamos encontrar apenas os numeradores w 2 ' e w 3 ' , sem dividir pela norma ok?

Depois sim vamos dividir pela norma para encontrarmos w 2 e w 3 .

Passo 2

Vamos começar:

w 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) 1 + 1 + 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) 3

Para w 2 ' :

w 2 ' = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 ,   - 1 ,   1 ,   ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3

w 2 ' = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 - 1 + 1 3 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3

w 2 ' = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 ,   1 ,   1 3 = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 3 , 1 3 , 1 3

w 2 ' = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3

Agora, dividindo pela norma:

w 2 = w 2 ' w 2 ' = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3 4 9 + 16 9 + 4 9

w 2 = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3 24 9

w 2 = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3 2 6 3

w 2 = 1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 )

Passo 3

Por fim, para w 3 ' :

w 3 ' = ( - 1 ,   0 ,   1 ) - ( - 1 ,   0 ,   1 ) ,   ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 - ( - 1 ,   0 ,   1 ) ,   1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 ) . 1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 )

w 3 ' = ( - 1 ,   0 ,   1 ) - 0 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 - 0 . 1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 )

w 3 ' = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Agora, normalizando:

w 3 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) 1 + 1 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) 2

Então é issoo, a nossa base ortonormal β é dada por:

β = 1 ,   1 ,   1 3 ,   1 ,   - 2 ,   1 6 ,   - 1 ,   0 ,   1 2

Resposta

β = 1 ,   1 ,   1 3 ,   1 ,   - 2 ,   1 6 ,   - 1 ,   0 ,   1 2

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