Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Considere o espaço M 2 × 2 com o seu produto interno usual:

a 1 b 1 c 1 d 1 , a 2 b 2 c 2 d 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 2 d 2

Seja W = 1 1 0 1 , 0 - 1 1 - 1 um subespaço de M 2 × 2 .

c Determine uma base ortogonal para W a partir dos vetores geradores dados.

Passo 1

Pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, podemos definir a base ortogonal β de W , de modo que:

W = 1 1 0 1 , 0 - 1 1 - 1

β = w 1 , w 2

w 1 = 1 1 0 1

w 2 = 0 - 1 1 - 1 - 0 - 1 1 - 1 , 1 1 0 1 1 1 0 1 , 1 1 0 1 1 1 0 1

w 2 = 0 - 1 1 - 1 - - 2 3 1 1 0 1

w 2 = 0 - 1 1 - 1 + 2 3 2 3 0 2 3 = 2 3 - 1 3 1 - 1 3

β = 1 1 0 1 , 2 3 - 1 3 1 - 1 3

Resposta

β = 1 1 0 1 , 2 3 - 1 3 1 - 1 3

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26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a