Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Ver Teoria

Enunciado

Seja V = P 2 um espaço vetorial munido com produto interno dado por:

p x , q ( x ) = ∫ - 1 1 p x q x d x

(b) Determine uma base ortogonal para V a partir do conjunto { 1 , x , x 2 }

Passo 1

Uma base ortogonal possui todos os seus elementos ortogonais dois a dois.

E pra dois elementos serem ortogonais, o produto interno entre eles é zero.

Vamos calcular então o produto interno dois a dois entre os elementos do conjunto dado:

1 , x = ∫ - 1 1 x d x = 0

x , x 2 = ∫ - 1 1 x 3 d x = 0

1 , x 2 = ∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

Opa, então esses elementos não são ortogonais dois a dois.

Vamos então fazer o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt!

Passo 2

Vamos montar uma nova base { u 1 , u 2 , u 3 } ortogonal, tal que:

u 1 = 1

u 2 = x - x , u 1 u 1 , u 1 u 1 = x - x , 1 1,1 1 = x

u 3 = x 2 - x 2 , u 2 u 2 , u 2 u 2 - x 2 , u 1 u 1 , u 1 u 1 = x 2 - x 2 , x x , x x - x 2 , 1 1,1 1 = x 2 - 1 3

Então nossa base ortogonal vai ser:

1 , x , x 2 - 1 3

Resposta

(b) 1 , x , x 2 - 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a