Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

a) Seja W = a b 0 c ;   ∀ a , b , c ∈ R subespaço de M 2 × 2 R .   Considere a 1 0 b 1 c 1 , a 2 0 b 2 c 2 = 2 a 1 a 2 + b 1 b 2 + 2 c 1 c 2 em W . Encontre uma base β ortogonal para W , usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, a partir da base α = 2 0 0 2 , 1 0 1 1 , 1 0 2 - 1 .

Passo 1

Antes de aplicar o processo de ortogonalização, vou chamar os elementos de α = 2 0 0 2 , 1 0 1 1 , 1 0 2 - 1 de v 1 ,   v 2 e v 3 , respectivamente:

α = v 1 , v 2 , v 3

E minha nova base ortogonal vou chamar de β = v 1 ' , v 2 ' , v 3 ' .

Passo 2

Agora sim, vamos ortogonalizar:

v 1 ' = v 1 = 2 0 0 2

v 2 ' = v 2 - v 2 , v 1 ' v 1 ' , v 1 ' v 1 '

v 2 ' = 1 0 1 1 - 2 ∙ 1 ∙ 2 + 1 ∙ 0 + 2 ∙ 1 ∙ 2 2 ∙ 2 ∙ 2 + 0 ∙ 0 + 2 ∙ 2 ∙ 2 2 0 0 2

v 2 ' = 1 0 1 1 - 8 16 2 0 0 2 = 0 0 1 0

v 3 ' = v 3 - v 3 , v 2 ' v 2 ' , v 2 ' v 2 ' - v 3 , v 1 ' v 1 ' , v 1 ' v 1 '

v 3 ' = 1 0 2 - 1 - 2 1 0 0 1 0 - 0 16 2 0 0 2

v 3 ' = 1 0 0 - 1

Logo, a base vai ser:

β = 2 0 0 2 , 0 0 1 0 , 1 0 0 - 1

Resposta

β = 2 0 0 2 , 0 0 1 0 , 1 0 0 - 1

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