Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Seja S = x , y , z , - 2 x + 4 y + 5 z x , y , z ∈ R subespaço de R 4 com o produto interno usual. Seja A = 1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 ⊂ S

a   Ortonormalizar o conjunto A

b   Completar o conjunto A de modo a transformá-lo numa base ortogonal de S .

Passo 1

a Boas notícias galera, não precisamos nem ortogonalizar eles haha, se liga:

1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 = 2 - 2 - 2 + 2 = 0

Como eles já são ortogonais, basta normalizarmos os vetores:

1,2 , - 1,1 1,2 , - 1,1 = 1,2 , - 1,1 7 = 1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7

2 , - 1,2 , 2 2 , - 1,2 , 2 = 2 , - 1,2 , 2 13 = 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

Então o conjunto A normalizado fica:

1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7 , 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

Passo 2

b   Agora precisamos completar o conjunto A , de modo a transformá-la numa base ortogonal de S . Tá, então precisamos achar um vetor v = x , y , z , w , que obedeça o seguinte:

1,2 , - 1,1 , x , y , z , w = 0

2 , - 1,2 , 2 , x , y , z , w = 0

w = - 2 x + 4 y + 5 z

Repare que as condições são ser ortogonal aos outros dois vetores e fazer parte do conjunto S . Então:

x + 2 y - z + w = 0 2 x - y + 2 z + 2 w = 0 w = - 2 x + 4 y + 5 z       1 2 3

Passo 3

Substituindo 3 em 1 e 2 :

x + 2 y - z + - 2 x + 4 y + 5 z = 0 2 x - y + 2 z + 2 - 2 x + 4 y + 5 z = 0 ⇒

⇒ - x + 6 y + 4 z = 0 ⇒ x = 6 y + 4 z - 2 x + 7 y + 12 z = 0

Substituindo x na equação de baixo:

- 12 y - 8 z + 7 y + 12 z = 0 ⇒ - 5 y + 4 z = 0 ⇒ z = 5 y 4

x = 6 y + 4 5 y 4 ⇒ x = 11 y

Agora podemos substituir x e z na equação de w :

w = - 22 y + 4 y + 25 y 4 = - 88 y 4 + 16 y 4 + 25 y 4 ⇒ w = - 47 y 4

Nosso terceiro vetor será então:

v = 11 y , y , 5 y 4 , - 47 y 4 = y 11,1 , 5 4 , - 47 4

Então uma base possível para S seria:

1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 , 44,4 , 5 , - 47

Resposta

a   1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7 , 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

b   1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 , 44,4 , 5 , - 47

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