Exercícios Resolvidos de Propriedades Ondulatórias da Luz

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado por:

E → x , t = - 3 × 10 9 V m cos ⁡ 2 π x + π t y ^

As unidades de x e t são metros e segundos respectivamente.

  1. Qual é o comprimento de onda λ em cm?
  2. Qual é a frequência f em Hz?
  3. Qual é a velocidade v em k m / h ?
  4. Calcule o valor máximo do campo magnético em teslas ( T );
  5. Determine B → x , t   ;

Passo 1

Letra a)

Analisando a equação do campo elétrico, podemos notar que o número de onda k vale 2 π   m - 1 .

Logo, podemos calcular o comprimento de onda λ .

λ = 2 π k

λ = 2 π 2 π = 1   m

O problema nos pede para calcular λ em cm. Assim,

λ = 100   c m

Passo 2

Letra b)

A partir da equação dada, podemos notar que a frequência angular ω vale π   s - 1 .

Agora podemos encontrar a frequência f .

f = ω 2 π

f = π 2 π = 0,5   H z

Passo 3

Letra c)

Precisamos calcular a velocidade v em k m / h .

Já que conhecemos os valores de k   2 π   m - 1 e ω   π   s - 1 , podemos calcular v .

ω = k v → v = ω k

v = π 2 π = 0,5   m / s

Agora precisamos passar de m / s para k m / h . Fazemos isso multiplicando a velocidade por 3,6 . Logo,

v = 0,5 × 3,6 = 1,8   k m / h

Passo 4

Letra d)

Precisamos calcular o valor máximo do campo magnético B m á x .

O módulo do campo elétrico E está relacionado com o módulo do campo magnético B através da equação:

E = v B

Onde v é a velocidade da luz no meio, que vale a 0,5   m / s (de acordo com o Passo 3).

Assim, acharemos o valor de B m á x quando utilizarmos o valor máximo do campo elétrico E m á x na equação acima.

Analisando a equação do campo elétrico dado pelo problema

E → x , t = - 3 × 10 9 V m cos ⁡ 2 π x + π t y ^

Vemos que o valor máximo dele será

E m á x = 3 × 10 9 V m

Já que a função cos ⁡ 2 π x + π t varia entre 1 e -1. Logo,

B m á x = E m á x v

B m á x = 3 × 10 9 0,5 = 6 × 10 9   T

Vale chamar a atenção para um detalhe!

Estamos acostumados a utilizar a relação E = c B , mas esta equação vale apenas quando a onda se propaga no vácuo, já que c é a velocidade da luz no vácuo.

Mas como não foi especificado o meio que estamos observando e já havíamos calculado a velocidade v no item anterior, então utilizamos essa velocidade.

Então fica esperto! Se ele não falar o meio em que a onda eletromagnética está se propagando, vale a pena conferir a velocidade, pode ser o diferencial em uma questão! ;)

Passo 5

Letra e)

Para calcularmos o vetor de campo magnético B → , temos que saber a direção de propagação da onda e o eixo de oscilação do campo magnético.

Analisando o campo elétrico

E → x , t = - 3 × 10 9 V m cos ⁡ 2 π x + π t y ^

Podemos fazer a seguinte análise para descobrir a direção e sentido de propagação da onda:

Analisando o argumento

cos ⁡ 2 π x + π t

Para que ele permaneça constante, conforme o tempo t aumenta, é necessário que o valor de x diminua, conseguiu ver?

Logo, a onda se propaga no sentido - x ^ (sentido negativo de x ).

Sabendo que o campo elétrico E → tem o sentido - y ^ (de acordo com a própria equação), podemos usar a regra da mão direita para saber o sentido de B → , já que o produto vetorial E → × B → nos dá o sentido de propagação da onda.

Assim, B → tem o sentido de z ^ , porque

- y ^ × z ^ = - x ^

Confere aí! ;)

Portanto o vetor B → , é dado por

B → = 6 × 10 9 T cos ⁡ 2 π x + π t z ^

Resposta

Letra a)

λ = 100   c m

Letra b)

f = 0,5   H z

Letra c)

v = 1,8   k m / h

Letra d)

B m á x = 6 × 10 9   T

Letra e)

B → = 6 × 10 9 T cos ⁡ 2 π x + π t z ^

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