Exercícios Resolvidos de Propriedades Ondulatórias da Luz

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Enunciado

O vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética plana e monocromática possui amplitude de 2,7   V / m , apontando na direção e sentido do vetor unitário 3 / 10 i ^ + 1 / 10 j ^ . A onda eletromagnética se propaga na direção e sentido do eixo z negativo.

Determina a amplitude e a direção do vetor campo magnético dessa onda.

  1. 9,0 × 10 - 8 T e i ^ - 3 j ^
  2. 3,0 × 10 - 8 T e i ^ - 3 j ^
  3. 9,0 × 10 - 9 T e i ^ - 3 j ^
  4. 9,0 × 10 - 9 T e i ^ + 3 j ^
  5. 3,0 × 10 - 8 T e i ^ + 3 j ^

Passo 1

Para resolver este problema, existem três propriedades importantes das ondas eletromagnéticas que devemos nos lembrar:

  • O vetor campo magnético B → é sempre perpendicular ao vetor campo elétrico E → .
  • O produto vetorial E → × B → aponta na direção da propagação da onda eletromagnética.
  • O módulo do campo magnético e do campo elétrico se relacionam por E = B ⋅ c .

Vamos começar encontrando a amplitude do campo magnético.

Passo 2

A razão entre o módulo do campo elétrico e o módulo do campo magnético é igual à velocidade da luz no vácuo.

E B = c

Essa relação também vale para as suas amplitudes E m e B m .

E m B m = c

Do enunciado temos E m = 2,7   V / m , enquanto c = 3 ⋅ 10 8 m / s é uma constante universal. Assim, rearrumando os termos:

B m = E m c = 2,7 3 × 10 8

B m = 9 × 10 - 9   T

O que já elimina as letras “(a)”,”(b)” e “(e)”.

Passo 3

Para achar a direção do vetor campo magnético temos duas maneiras de fazer. Vou lhe mostrar as duas.

A primeira é mais rápida, embora menos geral: Como E → e B → são perpendiculares entre si, o produto escalar entre eles é zero.

E →   ∙ B → = 0

Mais especificamente, o produto escalar entre as suas direções é zero. Logo, seja a direção de B → dada por:

n B → = a i ^ + b j ^ + c k ^

A direção de E → , pelo enunciado, é:

n E → = 3 10 i ^ + 1 10 j ^ + 0 k ^

O produto escalar é igual a soma da multiplicação de cada componente.

n E → ∙ n B → = 3 a 10 + b 10 = 0

b = - 3 a

Pode parecer que falta algo, mas não. Isso realmente é o que procurávamos. A direção de B → é a mesma de QUALQUER vetor do tipo

a i ^ - 3 a j ^ = a ⋅ i ^ - 3 j ^

Em uma mesma direção, eu tenho infinitos vetores com diferentes módulos, bastando pra isso pegar um vetor qualquer na minha direção e multiplicá-lo por um número real qualquer.

Por isso o vetor final tem um número real “ a ” multiplicando. Isso significa que podemos pegar qualquer valor pra ele. Pra simplifcar a sua vida, a minha, e a de quem montou a prova, usamos a = 1 , e temos a direção dada por

i ^ - 3 j ^

O que corresponde a letra “(c)”.

Passo 4

Este passo é opcional. Nele, mostro uma segunda forma de achar a direção de B → .

O método anterior é o mais rápido para achar a direção de B → . Inclusive, invés de fazer todas as contas, podíamos só testar as opções em questão múltipla escolha, o que te economizaria tempo precioso em prova.

Porém, para questões discursivas mais complicadas, ele não é o mais geral possível. Ele não dá pra gente o sentido de B → por exemplo.

Uma segunda forma de achar ao mesmo tempo a direção e o sentido do vetor B → é o fato de que E → × B → aponta na direção de propagação da onda.

Como o que nos importa são as direções e sentido, podemos fazer o produto vetorial dos vetores unitáris que dão a direção e o sentido.

n E ^ × n B ^ = i ^ j ^ k ^ 3 10 1 10 0 a ' b ' c ' = - k ^

O resultado - k ^ é dito no enunciado: “A onda eletromagnética se propaga na direção e sentido do eixo z negativo”.

Uma pequena diferença nesse método é que estamos usando vetores de direção unitários para não precisar se preocupar com módulos.

Resolvendo o produto vetorial, temos:

c ' 10 i ^ - 3 c ' 10 j ^ + 3 b ' 10 - a ' 10 k ^ = - k ^

O que dá

c ' = 0

3 b ' - a ' = - 10

Para finalizar esse método, temos duas escolhas:

  • Usar o fato de que n B ^ é unitário, e logo a ' 2 + b ' 2 = 1 , o que dá um certo trabalho.
  • Usar o resultado anterior de que b ' = - 3 a ' .

Só para facilitar minha vida e terminar logo essa resolução, usarei o segundo.

3 ⋅ - 3 a ' - a ' = - 10

a ' = 10 10 = 1 10

b ' = - 3 10

Nesse caso:

n B ^ = 1 10 i ^ - 3 10 j ^ = 1 10 i ^ - 3 j ^

Que é semelhante ao que falamos no passo anterior, mas neste caso, a = 1 / 10 para termos um vetor unitário (módulo igual a um). Mas a direção de fato é dada pela parte i ^ - 3 j ^ (o sentido é dado pela escolha do a positivo).

Resposta

Letra (c)

B m = 9,0 × 10 - 9   T e n B → = i ^ - 3 j ^

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