Exercícios Resolvidos de Propriedades Ondulatórias da Luz

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

  1. A intensidade da radiação eletromagnética emitida por um dipolo elétrico, na aproximação pontual, é esfericamente simétrica e decai com o inverso do quadrado da distância do dipolo.
  2. Os campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética plana e monocromática são sempre perpendiculares entre si.
  3. O campo magnético de uma onda estacionária, dentro de uma cavidade metálica, não é identicamente nulo nas paredes da cavidade.
  1. Apenas I e I I são verdadeiras.
  2. Apenas I e I I I são verdadeiras.
  3. Apenas I I e I I I são verdadeiras.
  4. Apenas I é verdadeira.
  5. Apenas I I é verdadeira
  6. Apenas I I I é verdadeira.
  7. Todas as afirmativas são verdadeiras.
  8. Nenhuma afirmativa é verdadeira.

Passo 1

“A intensidade da radiação eletromagnética emitida por um dipolo elétrico, na aproximação pontual, é esfericamente simétrica e decai com o inverso do quadrado da distância do dipolo.”

FALSO

Uma outra forma de dizer que a “intensidade da radiação é esfericamente simétrica” é dizer que ela depende apenas da distância entre o dipolo e o ponto no espaço.

I = I r

No caso da radiação emitida pelo dipolo oscilante, a intensidade também depende do ângulo entre o eixo do dipolo e a distância do ponto ao dipolo, da seguinte forma:

Passo 2

“Os campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética plana e monocromática são sempre perpendiculares entre si.”

VERDADEIRO

A primeira afirmação é verdadeira: SEMPRE, em uma onda eletromagnética plana e monocromática, E → (campo elétrico) e B → (campo magnético) serão perpendiculares entre si.

O motivo disso são as leis de Faraday-Lenz e Ampère-Maxwell, que restringem o formato das oscilações elétrica e magnética.

Não é necessário o próximo desenvolvimento, mas pra quem por algum motivo quiser saber como faz isso que eu falei.

Colocamos a forma senoidal dos campos (onde coloquei a mais geral possível):

E → = sen ⁡ k → ⋅ r → - ω t   E 0 x x ^ + E 0 y y ^ + E 0 z z ^ = sen ⁡ k → ⋅ r → - ω t E → 0

B → = sen ⁡ k → ⋅ r → - ω t   B 0 x x ^ + B 0 y y ^ + B 0 z z ^ = sen ⁡ k → ⋅ r → - ω t B → 0

Na lei de Ampère-Maxwell (no vácuo) ou na Lei de Faraday:

∇ → × B → = μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Usando a lei de Ampère-Maxwell:

μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t = - ω c 2 cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t E 0 x x ^ + E 0 y y ^ + E 0 z z ^

∇ → × B → = cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t B 0 z k y - B 0 y k z x ^ + B 0 x k z - B 0 z k x y ^ + B 0 y k x - B 0 x k y z ^

Essa última expressão é basicamente um produto vetorial (não, não é fácil ver isso).

∇ → × B → = k → × B → 0 cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t = - B → 0 × k → cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t

O motivo de inverter o produto vetorial é que, antes de eu resolver isso aqui, eu passei 2 horas confuso, e aí percebi que valeria a pena fazer isso pra não deixar você 2 horas confuso(a).

Juntando os dois:

- ω c 2 E → 0 = - B → 0 × k →

Agora, cortando o menos dos dois lados (sinais de menos: confundindo alunos de física desde a babilônia) e sabendo que c = ω k , temos:

k c c 2 E → 0 = B → 0 × k →

1 c E → 0 = B → 0 × k ^

Onde k ^ = k → / k é o vetor unitário de propagação da onda. Pela regra da mão direita, essa igualdade que a gente deduziu implica nisso aqui:

Ou seja, E → é perpendicular a B → .

Passo 3

“O campo magnético de uma onda estacionária, dentro de uma cavidade metálica, não é identicamente nulo nas paredes da cavidade.”

VERDADEIRO

Uma cavidade metálica é boa condutora de eletricidade. Isso significa que a sua superfície vai ser o que chamamos uma “equipotencial” (Superfície tal que todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico).

O campo elétrico é igual ao negativo do gradiente do potencial.

E → = - ∇ → V

O que significa que E → é sempre perpendicular à uma equipotencial, especificamente ele vai ser perpendicular à superfície da cavidade.

Como B → é sempre perpendicular a E → em uma onda eletromagnética, então B → vai ser tangencial à equipotencial.

Assim, não necessariamente B → é nulo. Apenas a componente perpendicular à superfície da cavidade será nula. Por isso, de fato, B → ≠ 0 → na parede da cavidade.

Resposta então vai ser a letra c , “Apenas I I e I I I são verdadeiras”.

Resposta

Letra c

Apenas I I e I I I são verdadeiras.

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