Exercícios Resolvidos de Radiação do Corpo Negro

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Enunciado

Uma estrela esférica de raio R em equilíbrio térmico à temperatura T emite radiação térmica.

(a) Supondo que a estrela emita energia térmica como um corpo negro, calcule a quantidade de massa ∆m perdida pela estrela durante um intervalo de tempo ∆t.

(b) Um laboratório na Terra observa que o comprimento de onda do máximo da distribuição de radiação térmica da estrela é λ m á x T e r r a . Supondo que a estrela esteja se afastando da Terra com velocidade v = 0, 6c, calcule sua temperatura.

Passo 1

Para resolvermos esse problema temos que fazer o seguinte, no primeiro objetivo temos que fazer o seguinte, primeiro devemos lembrar qual a fórmula que relaciona a intensidade emitida pelo corpo negro e a potencia emitida por essa estrela, mas porque relacionar com a potencia? Exatamente porque a potencia nos da uma relação entre energia e tempo, ou seja, a relação que o exercício quer que façamos, mas vamos a fórmula.

Sabemos que

I = P A

Isolando a potencia teremos que

P = I . A

Mas quanto vale cada um desses termos?

Como se trata de um corpo negro com temperatura T constante, sabemos que a intensidade nesse caso é calculada pela fórmula de Stefan-Boltzmann dada por

I = σ . T 4

Em que T é a temperatura do corpo negro e σ   é a constante de proporcionalidade chamada constante de Stefan-Boltzmann.

Como se trata de uma estrela esférica sabemos que a área dela é dada por

A = 4 . π . R 2

Ou seja, podemos escrever a potencia da seguinte forma

P = 4 . π . R 2 . σ . T 4

Passo 2

Agora no próximo passo precisamos entender o seguinte, todo esse processo ocorre conservando a energia do sistema, ou seja, a energia inicial do processo é igual a energia final do processo, mas como relacionaremos isso?

Sabemos que de energia inicial, a estrela terá apenas a sua massa de repouso, dada por

E i = m 0 . c 2

E para energia final?

Lembra que calculamos uma potencia de energia perdida? Sabemos que potencia e tempo se relacionam da seguinte forma

P = E ∆ t

Logo teremos que a energia será

E = P . ∆ t

E lembra que já definimos a potencia calculada?

P = 4 . π . R 2 . σ . T 4

Então para energia final teremos o seguinte

E f = m . c 2 + P . ∆ t

E f = m . c 2 + 4 . π . R 2 . σ . T 4 . ∆ t

Igualando as energias teremos o seguinte

m 0 . c 2 = m . c 2 + 4 . π . R 2 . σ . T 4 . ∆ t

m 0 . c 2 - m . c 2 = 4 . π . R 2 . σ . T 4 . ∆ t

∆ m . c 2 = 4 . π . R 2 . σ . T 4 . ∆ t

Feito isso chegamos exatamente no nosso objetivo, a massa perdida pela nossa estrela em uma variação de tempo é a seguinte.

∆ m = 4 . π . R 2 . σ . T 4 . ∆ t c 2

Passo 3

Nesse caso como a estrela se afasta da terra a uma velocidade de 60% a velocidade da luz, teremos que lembrar de alguns conceitos muito importantes.

O primeiro deles é que a uma velocidade dessas devemos considerar o efeito Doppler relativístico para essa estrela, analisando em função do comprimento de onda e que é dado pela fórmula.(observação: tome cuidado pois aqui usaremos o efeito Doppler para o caso em que a estrela se afasta, que é exatamente o caso do exercício, se por acaso fosse algo se aproximando deveríamos considerar outra fórmula, tome apenas cuidado com isso).

λ m á x T e r r a = λ m á x E s t r e l a . 1 + v c 1 - v c 1 2

Sabemos que v = 0,6 c

Substituindo os valores teremos

λ m á x T e r r a = λ m á x E s t r e l a . 1 + 0,6 c c 1 - 0,6 c c 1 2

λ m á x T e r r a = λ m á x E s t r e l a . 1 + 0,6 1 - 0,6 1 2

λ m á x T e r r a = λ m á x E s t r e l a . 1,6 0,4 1 2

λ m á x T e r r a = λ m á x E s t r e l a . 2

λ m á x T e r r a = 2 . λ m á x E s t r e l a

Passo 4

Agora que já descobrimos o valor do comprimento de onda da estrela precisamos descobrir como calcular a sua temperatura, e aqui vale lembrar da lei de deslocamento de Wien que é dada pela fórmula

λ m á x E s t r e l a . T = 3 . 10 - 3   m . K

Isolando o valor da temperatura teremos que

T = 3 . 10 - 3 λ m á x E s t r e l a

Mas como já definimos o valor do λ m á x E s t r e l a em função do λ m á x T e r r a

Substituindo teremos

T = 3 . 10 - 3 λ m á x T e r r a 2

Por fim teremos

T = 6 . 10 - 3 λ m á x T e r r a   K

Resposta

a) ∆ m = 4 . π . R 2 . σ . T 4 . ∆ t c 2

b) T = 6 . 10 - 3 λ m á x T e r r a   K

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