Exercícios Resolvidos de Radiação do Corpo Negro

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Enunciado

Uma estrela esférica de raio R e com temperatura T emite radiação térmica como um corpo negro.

a) Calcule a quantidade de massa Δ m perdida pela estrela durante um intervalo de tempo Δ t (expresse sua resposta em termos da constante de Stefan-Boltzmann, de c , T , R e Δ t ).

b) Um laboratório na Terra observa que o comprimento de onda do máximo da distribuição de radiação térmica da estrela é λ m a x T e r r a . Supondo que a estrela esteja se afastando da Terra com velocidade v , calcule sua temperatura, como função de v , c , λ m a x T e r r a e da constante de Wien b .

Passo 1

Essa é a última questão da P2 de 2019, estamos quase acabando! Vamos falar aqui sobre radiação de corpo negro: no item (a) sobre lei de Stefan-Boltzmann e no (b) sobre lei de Wien com um pouquinho de efeito Doppler.

Se a estrela tem uma temperatura T , a intensidade total da radiação emitida é

I = σ T 4

Isso representa a energia por unidade de tempo e por unidade de área emitida pela estrela na forma de radiação térmica. Multiplicando pela área da superfície da estrela nós obtemos a potência emitida:

P = I   A = σ T 4 ⋅ 4 π R 2

Lembre-se que a área da superfície de uma esfera é A = 4 π R 2 . A energia perdida num intervalo de tempo Δ t é obtida multiplicando-se a potência pelo tempo:

E = P   Δ t = 4 π σ T 4 R 2 Δ t

Passo 2

Mas nós estamos interessados na massa perdida, não na energia. Para isso, basta relacionar massa e energia:

E = Δ m   c 2

Portanto,

Δ m   c 2 = 4 π σ T 4 R 2 Δ t

Assim, a massa perdida é

Δ m = 4 π σ T 4 R 2 Δ t c 2

Passo 3

No item (b) queremos saber qual é a temperatura real da estrela. O laboratório, presente na Terra, detecta um comprimento de onda λ m a x T e r r a para o máximo de emissão. Todavia, devido ao efeito Doppler, esse não é o comprimento de onda real.

Usando a expressão do efeito Doppler relativístico, temos que o comprimento de onda real λ se relaciona com o aparante λ ' por

λ ' = λ   c + v c - v 1 / 2

Os sinais foram escolhidos assim pois a estrela está se afastando. Caso ela estivesse se aproximando, teríamos que inverter os sinais.

O comprimento λ m a x T e r r a representa o comprimento de onda aparente, de modo que o comprimento real λ m a x é dado pela equação

λ m a x T e r r a = λ m a x c + v c - v 1 / 2

Portanto,

λ m a x = λ m a x T e r r a c - v c + v 1 / 2

Passo 4

Agora podemos recorrer à lei de Wien:

λ m a x   T = b

Portanto,

T = b λ m a x

Assim,

T = b λ m a x T e r r a c + v c - v 1 / 2

Essa é a temperatura real da estrela. Se desconsiderássemos o efeito Doppler, a resposta seria apenas T = b / λ m a x T e r r a , sem o outro fator.

Resposta

a) Δ m = 4 π σ T 4 R 2 Δ t c 2

b) T = b λ m a x T e r r a c + v c - v 1 / 2

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