Exercícios Resolvidos de Radiação do Corpo Negro

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Enunciado

Uma estrela tem massa M t , raio R e temperatura T .

  1. Calcule a potência térmica irradiada por esta estrela.
  2. Calcule a massa que esta estrela perde por unidade de tempo devido à energia térmica irradiada.
  3. Calcule o tempo τ para que a massa desta estrela diminua de 1 % .

Passo 1

Letra a)

Temos a temperatura da estrela, e queremos potência térmica. Não ajudou muito ainda.

Mas o único corpo que sabemos calcular um problema parecido é o corpo negro. No corpo negro, a intensidade térmica (o que significa dizer “intensidade luminosa devido ao corpo estar MUITO QUENTE”) é dada pela lei de Stefan Boltzmann.

I = σ T 4

Onde σ ≈ 5,67 ⋅ 10 - 8   W / m 2 K 4 . Porém, intensidade luminosa é a potência dividida pela área que a luz se espalha. Então, temos indiretamente a potência.

Ok, mas e a droga da estrela? Ahn, finge aí que é um corpo negro. Não conheço nenhuma outra fórmula! (Pode não ser exatamente a mesma coisa, mas é bom pra uma primeira aproximação).

Show, agora se considerarmos que a estrela irradia luz em todas as direções (ou seja, numa esfera ao redor dela), podemos usar como área a sua superfície, e aí temos:

P o t 4 π R 2 = σ T 4

P o t = 4 π σ T 4 R 2

Passo 2

Letra b)

A massa da estrela é M t . Sabemos que devido a isso, ela também tem uma energia de repouso associada (vamos considerar o referencial da estrela, no qual ela está parada, e por isso essa é sua única energia).

E = M t c 2

Se derivarmos essa expressão da energia, temos:

d E d t = c 2 d M d t

A variação da energia com o tempo é toda devida à variação de sua massa. Porém, essa variação da energia com o tempo é igual à potência luminosa! (A potência luminosa é a taxa de energia liberada na forma de luz).

d E d t = P o t = 4 π σ T 4 R 2

Juntando tudo:

d M d t = 4 π σ T 4 R 2 c 2

Que é a massa perdida por unidade de tempo devido à radiação térmica da estrela.

Passo 3

Letra c)

Essa parte é um pouco pegadinha. A ideia é a seguinte: Em um tempo suficientemente curto, podemos considerar que a variação de massa é aproximadamente:

Δ M ≈ d M d t ⋅ Δ t

Considerando que a variação de tempo é τ e que queremos que a estrela perca 1 % da massa inicial, M 0 , temos:

0,01 M 0 ≈ d M d t ⋅ τ

τ ≈ 0,01 M 0 d M / d t

τ ≈ 0,01 M 0 c 2 4 π σ T 4 R 2

Agora, se a gente estivesse considerando que o raio da estrela e a temperatura dela são constantes, então essa expressão passa a ser exata e aí poderíamos dizer que:

τ = 0,01 M 0 c 2 4 π σ T 4 R 2

Isso é devido ao fato de que d M / d t seria constante, e assim M t seria uma reta. Logo o coeficiente angular seria:

Δ M Δ t = α = d M d t

Pelo enunciado, dá a entender que R é constante (pois embora ele escreva a massa como M t , ele não faz isso pro raio).

Caso d M / d t não fosse constante devido ao raio R e quiséssemos achar τ de forma exata, nós teríamos uma EDO muito louca, que não dá pra resolver numa prova (ou aqui). Então vamos ficar com essa resposta mesmo.

Resposta

Letra a)

P o t = 4 π σ T 4 R 2

Letra b)

d M d t = 4 π σ T 4 R 2 c 2

Letra c)

τ = 0,01 M 0 d M / d t = 0,01 M 0 c 2 4 π σ T 4 R 2

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