Exercícios Resolvidos de Radiação do Corpo Negro

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Enunciado

Um filamento cilíndrico com comprimento 𝑙=20 𝑚𝑚 e raio 𝑟=0,05 𝑚𝑚 é submetido a uma temperatura de 𝑇=5000 𝐾 através de uma corrente elétrica. Admita que esse filamento se comporta como um corpo negro e emite radiação isotropicamente.

  1. Calcule a potência total irradiada pelo filamento
  2. Obtenha o comprimento de onda associado à máxima potência radiada
  3. Determine o número de fótons irrradiados pelo filamento a cada segundo. Considere o comprimento de onda médio é de 550 nm

Passo 1

Para resolvermos esse problema temos que fazer o seguinte, no primeiro objetivo temos que fazer o seguinte, primeiro devemos lembrar qual a fórmula que relaciona a intensidade emitida pelo corpo negro e a potencia emitida por essa estrela, mas porque relacionar com a potencia? Exatamente porque a potencia nos da uma relação entre energia e tempo, ou seja, a relação que o exercício quer que façamos, mas vamos a fórmula.

Sabemos que

I = P A

Isolando a potencia teremos que

P = I . A

Mas quanto vale cada um desses termos?

Como se trata de um corpo negro com temperatura T constante, sabemos que a intensidade nesse caso é calculada pela fórmula de Stefan-Boltzmann dada por

I = σ . T 4

Em que T é a temperatura do corpo negro e σ   é a constante de proporcionalidade chamada constante de Stefan-Boltzmann.

Como se trata de um cilindro sabemos que a área dele é dada por

A = 2 π r l

Ou seja, podemos escrever a potencia da seguinte forma

P = 2 π r l . σ . T 4

Passo 2

Sabemos que

r = 0,05 m m = 0,05.10 - 3 m

l = 20 m m = 20.10 - 3 m

T = 5000 k

σ = 5,67.10 - 8 W m - 2 K - 4

P = 2 π r l . σ . T 4

Substituindo

P = 2 π . 0,05.10 - 3 . 20.10 - 3 . 5,67.10 - 8 . 5000 4 = 223 W

Passo 3

Agora precisamos determinar o valor do comprimento máximo de onda para a potencia máxima emitida, e aqui vale lembrar da lei de deslocamento de Wien que é dada pela fórmula

λ m á x c i l i n d r o . T = 0,002898   m . K

E nesse caso já sabemos o valor da temperatura, bastando apenas substituir os valores.

λ m á x c i l i n d r o . 5000 K = 0,002898   m . K

λ m á x c i l i n d r o = 0,002898 5000 = 5 , 80.10 - 7 m = 580 n m

Passo 4

Agora para determinar o numero de fótons por segundos precisaremos relembrar alguns conceitos bem importantes.

Primeiro temos que analisar uma forma simples de determinar o numero de fótons, e sabemos que uma relação entre energia total e energia de cada fóton poderia ser um bom começo, então vamos lá.

A energia para cada fóton é dada pela fórmula

E f = h c λ

A energia total pode ser encontrada em função da potência, basta lembrar da relação

P = E T ∆ T

Logo a energia total será

E T = P . ∆ T

Agora para definir o número de fótons basta dividir a energia total pela energia de cada fóton

N = P . ∆ T h c λ

N = P . ∆ T . λ h . c

Nossos valores são

P = 223 W

∆ T = 1 s

λ = 550 n m

h c = 1240 e V . n m = 1240.1,6.10 - 19 J . n m

substituindo teremos que

N = 223 . 1 . 550 1240.1,6.10 - 19 = 6,2.10 20   f ó t o n s / s e g u n d o

Resposta

a) P = 223 W

b) λ m á x c i l i n d r o = 580 n m

c) N = 6,2.10 20   f ó t o n s / s e g u n d o

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