Exercícios Resolvidos de Radiação do Corpo Negro

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Enunciado

O gráfico abaixo representa a emitância espectral I λ (distribuição de intensidade) de um corpo negro como função do comprimento de onda.

É dada apenas a escala do eixo de comprimento de onda em n m = 10 - 9   m . Faltou colocar no gráfico a unidade da escala do eixo da distribuição de intensidade.

  1. Calcule a intensidade total irradiada por esse corpo.
  2. Calcule aproximadamente a intensidade irradiada na faixa de comprimentos de onda entre 6000 e 8000   n m .
  3. Caso a temperatura do corpo seja dobrada. Determine o comprimento de onda do máximo da nova curva e a intensidade total irradiada.

Passo 1

Letra a)

Para sabermos a intensidade total irradiada por esse corpo, primeiro precisamos de sua temperatura.

Podemos usar para isso a lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda de máxima emitância espectral com a temperatura.

λ m á x . T = 0,002898   m ∙ K

Pelo gráfico, λ m á x ≅ 2900 ∙ 10 - 9   m . A temperatura será:

T = 0,002898 2900 ∙ 10 - 9 ≅ 1000   K

Passo 2

De posse da temperatura, usamos a lei de Stefan Boltzmann.

I = σ T 4

Onde

σ ≅ 5,6704 ∙ 10 - 8   W / m 2 K 4

Como vimos antes, T ≅ 1000   K . Substituindo tudo:

I = 5,6704 ∙ 10 - 8 ∙ 10 3 4 = 5,6704 ∙ 10 - 8 ∙ 10 12 = 5,6704 ∙ 10 4 = 56704   W / m 2

Passo 3

Letra b)

Neste caso, teremos que abrir mão de uma aproximação meio forçada.

A intensidade entre 6000   n m e 8000   n m vai ser a área embaixo dessa parte da curva.

A integral da equação que nos dá a curva do espectro de corpo negro é muito complicada, e é inviável tentarmos utilizá-la.

Mas como a intensidade total é a área sob a curva, então vamos tentar contar o número de quadrados sobre a curva, e utilizá-los como unidade de medida para encontrar a razão entre essa intensidade e a intensidade total.

Como isso é pouco objetivo (qual critério usar para contar quadrados cortados pela curva, que parte da área está debaixo da curva e parte acima), podemos encontrar diferentes valores.

Passo 4

De forma geral, podemos aceitar que tem entre 3 e 4 quadrados abaixo da faixa de 6000   n m a 8000   n m . Vou usar quatro.

Para contar o resto da curva, é bem complicado, mas vou considerar o seguinte:

Entre 0   e   2000   n m , temos aproximadamente 2 quadrados (um pouco menos, mas arrendondei pra cima para consertar o da faixa seguinte).

Entre 2000   n m e 4000   n m , temos aproximadamente 12 quadrados (um pouco mais, mas arrendondei para baixo por causa da faixa anterior).

Entre 4000   n m e 6000   n m , temos aproximadamente 8 quadrados (tá mais pra 7, mas vamos errar pra mais essa área total).

Entre 6000   n m e 8000   n m , temos 4 quadrados (de novo, é mais próximo de 3, mas vamos na margem de erro).

Entre 8000   n m e o fim da curva, temos uns 2 quadrados.

Assim, o total de quadrados é 28 , e a razão entre a intensidade procurada e a intensidade total vai ser:

I P I = 4 28 = 1 7

I P = I 7 = 56704 7 = 8   100,57   W / m 2

Passo 5

Letra c)

A lei de Wien nos diz que:

λ m á x = 0,002898 T

Logo, se dobrarmos a temperatura, o novo comprimento de onda vai ser metade do anterior:

λ m á x ' = 2900 2 = 1450   n m = 1450 ∙ 10 - 9   m

Já a lei de Stefan Boltzmann nos diz que:

I = σ T 4

Se dobrarmos a temperatura, a nova intensidade será:

I ' = σ ∙ 2 4 ∙ T 4 = 16 ∙ σ T 4 = 16 I

I ' = 16 ∙ 56704 = 907   264   W / m 2

Resposta

Letra a)

I = 56704   W / m 2

Letra b)

I P = 8   100,57   W / m 2

Letra c)

λ m á x ' = 1450   n m = 1450 ∙ 10 - 9   m

I ' = 907   264   W / m 2

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