Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2014.2, questão 1, item f

Considere a função f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y .

f) Considere a curva de nível C : x 2 - 2 x y + y 3 - y = 3 . Exiba a equação paramétrica da reta tangente γ a C no ponto 1 , - 1 .    

Passo 1

f) Vamos lá, estão nos pedindo pra calcular a reta tangente à C no ponto 1 , - 1 , sendo C uma curva de nível de f x , y , certo? Então, encontraremos uma equação paramétrica para essa tangente dizendo que ela é perpendicular ao vetor gradiente de f x , y nesse mesmo ponto!

Show, vamos ver então qual é o vetor gradiente em 1 , - 1 ?

∇ f x , y = 2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1

∇ f 1 , - 1 = 2.1 - 2 . - 1 ,   - 2.1 + 3 - 1 2 - 1

∇ f 1 , - 1 = 4,0

E, como esse vetor é perpendicular à superfície no ponto 1 , - 1 , com certeza é perpendicular à curva C , que está na superfície!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vem uma manha de vetores, que lembro que usei quando fiz o vestibular da PUC: para girar um vetor em 90 ° , inverte as coordenadas do vetor, pega o resultado e muda o sinal da primeira.

Tá, e pra que falei isso? Porque se o vetor 4,0 é perpendicular à curva, então o vetor perpendicular a ele será tangente à curva! É tipo pensar que o inimigo do seu inimigo é seu amigo XD

Então, girando o vetor 4,0 em 90 ° , temos o vetor - 0,4 . Coloquei esse menos aí na frente do 0 pra você lembrar de trocar o sinal da primeira coordenada depois de ter invertido o vetor! Isso é bem importante! E aí conseguimos um vetor que é tangente à curva, e pode ser o vetor diretor da nossa reta tangente!

Tomando o vetor 0,4 como vetor diretor, tudo o que temos que fazer é multiplicá-lo por um parâmetro t e transladá-lo para o ponto de tangência:

r t = 0,4 . t + 1 , - 1

r t = 1,4 t - 1

Resposta

  1. Reta tangente: r t = 1,4 t - 1

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