Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

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Enunciado

1.2. Sejam f : R 2 → R , diferenciável em R 2 , com ∇ f - 2 , - 2 = a , - 4 e g t = f 2 t 3 - 4 t , t 4 - 3 t . Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = 2 x + 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema estamos interessados em obter o valor de a dado que ∇ f - 2 , - 2 = a , - 4 e g t = f 2 t 3 - 4 t , t 4 - 3 t , de modo que g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = 2 x + 3 .

E aí, tem ideia do que fazer? 😬

De forma mais direta, temos que forçar a derivada de g ser paralela à reta y = 2 x + 3 .

Podemos fazer isso definindo g t = f u , v de modo que u = 2 t 3 - 4 t e v = t 4 - 3 t assim, aplicando a regra da cadeia podemos relacionar a derivada de f com a derivada de g .

Veja só! 👀

Passo 2

Se g t = f u , v , então u = 2 t 3 - 4 t e v = t 4 - 3 t .

Aplicando a regra da cadeia, vamos obter

g ' t = ∂ f ∂ t

g ' t = ∂ f ∂ u · ∂ u ∂ t + ∂ f ∂ v · ∂ v ∂ t

g ' t = ∂ f ∂ u · ∂ 2 t 3 - 4 t   ∂ t + ∂ f ∂ v · ∂ t 4 - 3 t ∂ t

g ' t = ∂ f ∂ u · 6 t 2 - 4 + ∂ f ∂ v · 4 t 3 - 3

Para o ponto cuja abscissa é 1 , temos que t = 1 .

g ' 1 = ∂ f ∂ u · 6 - 4 + ∂ f ∂ v · 4 - 3

g ' 1 = ∂ f ∂ u · 2 + ∂ f ∂ v

A partir da reta que dada por y = 2 x + 3 em que g deve ser paralela, vemos que o coeficiente angular dela é dada por 2 , ou seja, para g 1 ser paralela a essa reta, g ' 1 = 2

2 = ∂ f ∂ u · 2 + ∂ f ∂ v

A partir da informação de que ∇ f - 2 , - 2 = a , - 4 , temos que ∂ f ∂ u = a e ∂ f ∂ v = - 4

2 = a · 2 + - 4

2 a = 6

a = 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a = 3

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