Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 7.

Seja

f x , y = x 2 y 4 + x 4 y ²

E C a curva de nível 2 de f . A equação da reta tangente a C em ( 1 , - 1 ) é:

  1.   y = x - 2
  2. y = - x
  3.   y = - 3 x + 2
  4.   y = x + 2

Passo 1

Primeiro vamos descobrir quem é a curva C :

Ela é a curva de nível 2 da função, então:

x 2 y 4 + x 4 y 2 = 2

Beleza, agora temos que lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a curva de nível da função. Sabendo que o vetor tangente é tangente a curva (óh!), então podemos usar o fato de esses dois vetores serem perpendiculares entre si no ponto de tangencia para encontrar o vetor diretor da reta tangente a essa curva.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular o vetor gradiente de f

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f x , y = 2 x y 4 + 4 x 3 y 2 ,   4 x 2 y 3 + 2 x 4 y

No ponto de tangencia ( 1 , - 1 ) temos:

∇ f 1 , - 1 = 6 ,   - 6

Passo 3

Agora vamos usar o fato do vetor gradiente ser perpendicular ao vetor tangente ( a , b ) :

∇ f 1 , - 1 ∙ a , b = 0

6 , - 6 ∙ a , b = 0

6 a - 6 b = 0

a = b

Assim, o vetor tangente é

a , a

Se arbitrarmos a = 1 teremos:

1 , 1

Passo 4

Agora vamos parametrizar essa reta.

r t = P 0 + v → t

r t = 1 , - 1 + 1 , 1 t

r t = t + 1 ,   t - 1

Show, mas as opções estão com as equações cartesianas da reta, e não com equações paramétricas. Então, bora achar a equação cartesiana disso.

Passo 5

Temos

x = t + 1

y = t - 1

Se isolarmos o t na segunda equação, podemos substitui-lo na primeira e teremos nossa equação cartesiana.

t = y + 1

Então

x = y + 1 + 1

x = y + 2

y = x - 2

Resposta

L e t r a   a

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