Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

Plano Tangente e Reta Normal

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável tal que C = x , y ∈ R 2     f x , y = 0 }   é uma curva no plano. Sabendo que P 0 = 1,1 ∈ C e que o gradiente de f no ponto P 0 é o vetor ( 2,1 ) , podemos afirmar que a equação da reta tangente a C em P 0 é:

(a) x + y = 2 .

(b) 2 x + y = 2 .

(c) x + 2 y = 3 .

(d) 2 x + y = 3 .

Passo 1

Queremos a equação da reta tangente a C em P 0 .

A equação do plano tangente a uma superfície em um ponto P 0 é:

n → ⋅ x , y , z = n → ⋅ P 0

onde n → é o vetor normal em P .

Mas aqui não queremos o plano tangente a uma superfície, e sim a reta tangente à uma curva de nível da superfície. Ficou confuso? Basicamente queremos uma reta, e não um plano, então podemos trabalhar com 2 dimensões em vez de 3, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a equação fica:

n → ⋅ x , y = n → ⋅ P

E como o gradiente é o vetor normal:

∇ f P 0 ⋅ x , y = ∇ f P 0 ⋅ P 0

⇒     2,1 ⋅ x , y = 2,1 ⋅ ( 1,1 )

⇒ 2 x + y = 2 + 1 = 3

Resposta

Alternativa (d)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas