Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2015.2, Questão 3

Considere a superfície S   dada pela equação cos π x - x 2 y + e x z + y z = 4 . Qual curva abaixo é tangente a S no ponto 0,1 , 2 ?

  1. σ t = t e t ,   1 - t e t , 2   em t = 0
  2. σ t = t e t ,   1 + t e - t , 2   em t = 0
  3. σ t = t e t ,   1 + t e t , 2   em t = 0
  4. σ t = t e t ,   1 - t e t , 0   em t = 0
  5. Não sei

Passo 1

Vamos começar ajeitando essa função. Temos:

cos π x - x 2 y + e x z + y z - 4 = 0

F x , y , z = cos π x - x 2 y + e x z + y z - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza. Agora podemos calcular um vetor normal a superfície S . Fazemos:

n = F x , y , z = - π s e n π x - 2 x y + z e x z ,   - x 2 + z ,   x e x z + y

No ponto 0,1 , 2 temos:

n = 2 ,   2,1

Passo 3

Sabemos que para uma curva ser tangente a uma superfície, deve haver duas coisas:

i) Um ponto de tangência, ou seja, tem de existir uma interseção entre a curva e a superfície.

ii) O vetor normal a superfície e o vetor tangente a curva no ponto de tangência, devem ser perpendiculares entre si. Ou seja, o produto escalar entre eles é zero.

Então, vamos verificar nas alternativas qual a curva que satisfaz essas condições.

Passo 4

Começando pela condição i) , a curva tem de estar no ponto 0,1 , 2 , Verificando:

No item a) σ 0 = 0 ,   1,2 ok!!!

No item b) σ 0 = 0 ,   1,2 ok!!!

No item c) σ 0 = 0 ,   1,2 ok!!!

No item d) σ 0 = 0 ,   1,0 0 ,   1,2 , logo a alternativa d) não pode ser o gabarito.

Passo 5

Agora é encontrar o vetor tangente as curvas no ponto 0,1 , 2 , e verificar o produto interno dele com o vetor n = 2 ,   2,1 é zero.

Começando pela alternativa c) temos:

σ t = t e t ,   1 + t e t , 2

σ ' t = e t + t e t ,   e t + t e t , 0

σ ' 0 = 1 ,   1,0

Verificando:

2 ,   2,1 1,1 , 0 = 4

Logo, não satisfaz a condição ii)

Testando a alternativa b):

σ t = t e t ,   1 + t e - t , 2

σ ' t = e t + t e t ,   e - t - t e - t , 0

σ ' 0 = 1 ,   1,0

Verificando:

2 ,   2,1 1,1 , 0 = 4

Logo, não satisfaz a condição ii)

Testando a alternativa a) temos:

σ t = t e t ,   1 - t e t , 2

σ ' t = e t + t e t ,   - e t + t e t , 0

σ ' 0 = 1 ,   - 1,0

Verificando:

2 ,   2,1 1 , - 1,0 = 0

Como a alternativa a) satisfaz as condições i) e ii) , essa é a resposta correta

Resposta

a) σ t = t e t ,   1 - t e t , 2   em t = 0  

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas