Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G2 - 2017.1, Questão 1

Considere as superfícies:

S 1 = x , y , z R 3   ,   z - y 2 - x 2 + 2 x + 2 y = 2

S 2 = x , y , z R 3   ; z - 2 x - 2 y = - 2

Seja C a curva espacial dada por C = S 1 S 2 .

  1. Encontre a equação cartesiana do plano tangente à S 1 em 2 , 4,10
  2. Exiba uma parametrização:
  3. α   : a , b R 3 ,   α a , b = t r a ç o   d e   α = C

    Explicitando a ,   b ,   α ( t ) e a ' ( t ) com t [ a , b ]

  4. Dê a parametrização da reta tangente à C em 2 , 4,10 C , explicitando um vetor diretor dessa reta (não nulo).
  5. Exiba um ponto x 0 , y 0 , z 0 C tal que a reta tangente neste ponto seja paralela ao plano x z .
  6. Dado 2 , 4,10 C , exiba o vetor diretor v da reta r R 3 que satisfaz as seguintes propriedades:

- r é perpendicular a reta tangente a C em ( 2 , 4,10 )

- r está contida no plano tangente a S 1 em ( 2 , 4,10 )

Passo 1

a )

Opa, falou de plano tangente! Vamos seguir o passo a passo de questões de plano tangente.

Primeiro a gente substitui f ( x , y ) por z na equação da superfície, mas como nesse caso não é necessário, vamos começar jogando todas as variáveis para o lado esquerdo e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z - y 2 - x 2 + 2 x + 2 y - 2

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Passo 2

Agora vamos calcular o gradiente de F e substituir no ponto ( 2,4 , 10 ) .

F x , y , z = ( - 2 x + 2 , - 2 y + 2,1 )

Substituindo no ponto de tangencia:

F 2,4 , 10 = ( - 2 , - 6,1 )

Esse é o vetor normal do plano tangente.

Passo 3

Agora é só substituir na equação do plano tangente:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 F = 0

x - 2 , y - 4 , z - 10 ( - 2 , - 6,1 ) = 0

- 2 x - 2 - 6 y - 4 + 1 z - 10 = 0

Passo 4

b )

Agora queremos parametrizar a curva C de interseção entre as duas superfícies. Para descobrir que curva é essa, vamos começar isolando uma variável de umas das equações das superficies.

As equações das superfícies são:

S 1   z - y 2 - x 2 + 2 x + 2 y = 2

S 2 z - 2 x - 2 y = - 2

Isolando o z na segunda equação:

z = 2 x + 2 y - 2

Substituindo isso na primeira equação:

  ( 2 x + 2 y - 2 ) - y 2 - x 2 + 2 x + 2 y = 2

x 2 - 4 x + y 2 - 4 y = - 4

Essa é a projeção da nossa curva C no plano x y .

A principio não sabemos que curva é essa, mas como tem x e y elevados ao quadrado e elevados a um, isso é sempre um indicio de que devemos completar quadrados. Assim:

x - 2 2 + y - 2 2 = - 4 + 2 2 + 2 2

Temos então um círculo centrado em ( 2,2 ) e de raio 2 :

x - 2 2 + y - 2 2 = 2 2

Passo 5

A parametrização da circunferência é:

x t = 2 cos t + 2

y t = 2 sen t + 2

t [ 0,2 π ]

Agora, para achar a parametrização da curva C temos que substituir essas parametrizações de x e y na variável isolada z . Assim:

z = 2 x + 2 y - 2

z ( t ) = 2 x ( t ) + 2 y ( t ) - 2

z ( t ) = 2 ( 2 cos t + 2 ) + 2 ( 2 sen t + 2 ) - 2

z t = 4 cos t + 4 sen t + 6

Nossa curva α t fica então:

α t = 2 cos t + 2 ,   2 sen t + 2 ,   4 cos t + 4 sen t + 6   ,   t [ 0,2 π ]

Passo 6

Mas, a letra b pede pra gente dizer também quem é a ' ( t ) . Derivando em relação a t , temos então:

α ' t = - 2 sen t , 2 cos t ,   - 4 sen t + 4 cos t ,   t [ 0,2 π ]

Passo 7

c )

Agora precisamos encontrar a reta tangente a essa curva de interseção. Vamos seguir o passo a passo.

Primeiro vamos encontrar t 0 correspondente ao ponto α ( t 0 ) :

α t 0 = ( 2,4 , 10 )

2 cos t + 2 = 2 2 sen t + 2 = 4 4 cos t + 4 sen t + 6 = 10

Resolvendo esse sistema, encontramos que t 0 = π 2 .

Passo 8

Agora, como já temos α ' ( t ) , vamos calcular α ' t 0 :

α ' t = - 2 sen t , 2 cos t ,   - 4 sen t + 4 cos t

α ' π 2 = - 2,0 ,   - 4

Pronto, agora é só substituir na expressão da reta tangente:

r t = α t 0 + α ' t 0 t

r t = α π 2 + α ' π 2 t

r t = ( 2,4 , 10 ) + - 2,0 ,   - 4 t

Passo 9

d )

Agora temos que achar um ponto em que a reta tangente seja paralela ao plano x z . Ou seja, o vetor diretor da nossa reta tem que ser paralelo a um vetor que esteja no plano x z , por exemplo, o vetor ( 1 , 0,1 ) , porque no plano x z é o y vale zero.

Agora, se você reparar bem, na verdade o vetor diretor da nossa reta já está no plano x z , pois a coordenada y dele vale zero:

- 2,0 ,   - 4

Assim, um ponto em que a reta tangente é paralela ao plano x z é o próprio ponto ( 2 , 4,10 ) , pois a reta tangente nesse ponto já tem um vetor diretor cuja direção é a do plano x z (tem coordenada y nula).

Passo 10

e )

Agora precisamos achar um vetor v que seja perpendicular a reta tangente a C em ( 2 , 4,10 ) e, ao mesmo tempo, esteja contido no plano tangente a S 1 em ( 2,4 , 10 ) .

Então, nosso vetor v é perpendicular ao vetor - 2,0 ,   - 4 , que é o vetor diretor da reta tangente e ao vetor ( - 2 , - 6,1 ) , que é o vetor normal ao plano tangente (já que v tem que está no plano tangente).

Assim, para achar v basta fazer o produto vetorial entre esses dois vetores aos quais ele é perpendicular simultaneamente.

v = î   j k - 2 0 - 4 - 2 - 6 1

v = 0   i + 8   j + 12   k - 24   i + 2 j - 0   k  

v = - 24,10,12

Resposta

  1. - 2 x - 2 - 6 y - 4 + 1 z - 10 = 0
  2. α t = 2 cos t + 2 ,   2 sen t + 2 ,   4 cos t + 4 sen t + 6   ,   t 0,2 π
  3. α ' t = - 2 sen t , 2 cos t ,   - 4 sen t + 4 cos t

  4. r t = ( 2,4 , 10 ) + - 2,0 ,   - 4 t
  5. ( 2,4 , 10 )
  6. v = - 24,10,12

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