Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2015.1, questão 1, item f

Seja f x , y = x 3 - y 2 . Considere as curvas de nível

C 0 = x , y R 2   |   f x , y = 0

e

C - 1 = x , y R 2   |   f x , y = - 1

f) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 de C - 1 onde a reta tangente à C - 1 neste ponto é paralela à reta 2 x - y = 1 . Dica: Levem em conta que x = 2 é solução da equação - 9 16 x 4 + x 3 + 1 = 0 e t = 6 é solução de 2 3 t 2 3 - 1 4 t 2 = - 1 .

Passo 1

f) Primeiro, é bom parametrizarmos a reta 2 x - y = 1 , para visualizar mais facilmente seu vetor diretor :) Isolando o y , teremos:

y = 2 x - 1

Usando o x como parâmetro, teremos a reta r t = t , 2 t - 1

Como o vetor diretor da reta é aquele formado pelos coeficientes do parâmetro em cada coordenada, então o vetor diretor dessa reta é o 1,2 , show?

Sabemos que o vetor gradiente é normal à curva de nível, logo, é normal ao vetor tangente à essa curva. Assim, o que querermos é encontrar o ponto no qual o vetor gradiente é paralelo ao vetor normal de 1,2 , então esse será o ponto no qual o vetor tangente é paralelo ao vetor 1,2 !

Para encontrar o vetor normal do vetor 1,2 , basta fazer o produto interno entre eles e igualar a zero.

n = ( a , b )

Fica assim:

1,2 a , b = 0

a + 2 b = 0

Ajeitando:

a = - 2 b

Então temos:

n = - 2 b , b

Escolhendo um valor qualquer para b temos:

b = - 1

n = 2 , - 1

Chegamos então que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor 2 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora que sabemos que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor 2 , - 1 , podemos escrever que:

f x , y = λ 2 , - 1

Ou seja, um é múltiplo do outro. Calculando o vetor gradiente da nossa função:

f x 0 , y 0 = 3 x 0 2 , - 2 y 0

3 x 0 2 , - 2 y 0 = λ 2 , - 1

Igualando cada coordenada, temos:

3 x 0 2 = 2 λ

- 2 y 0 = - λ

Da segunda, temos que λ = 2 y 0 . Colocando isso na primeira, teremos:

3 x 0 2 = 2.2 y 0

y 0 = 3 4 x 0 2

Agora, podemos colocar essa relação na equação da curva de nível, e teremos:

x 0 3 - 3 4 x 0 2 2 = - 1

x 0 3 - 9 16 x 0 2 = - 1

E aí você me pergunta, qual é a solução dessa equação?! E eu digo: ainda bem que foi dada no enunciado! Falando sério, zoaram essa questão... nada nem um pouco intuitivo o.O

Mas vamos lá, o enunciado diz que podemos usar que x 0 = 2 é uma solução dessa equação, então a gente acredita. Substituindo-se x 0 = 2 na equação y 0 = 3 4 x 0 2 , teremos:

y 0 = 3 4 2 2 = 3

E, portanto, y 0 = 3 e o ponto pedido é 2,3 !

Ufa! Demorou mas acabou!

Resposta

f) O ponto é 2,3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas