Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2014.1, Questão ME7

Seja

f x , y = 4 x 2 + y 2

Determine a equação da reta tangente a curva de nível de f x , y que passa pelo ponto 1,2 .

  1. 2 x + y - 4 = 0
  2. x - 2 y + 5 = 0
  3. x + y - 3 = 0
  4. 8 x + 2 y - 4 = 0
  5. 4 x + y - 6 = 0

Passo 1

Primeiro devemos achar a curva de nível,

f x , y = k

Sabemos um ponto dessa curva então

f 1,2 = k

4 1 2 + 2 2 = 8 = k

A curva de nível será

8 = 4 x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para acharmos a reta tangente devemos achar d y / d x , fazendo derivada implícita.

Derivando a equação da curva de nível em função de x

0 = 8 x + 2 y d y d x

d y d x = - 8 x 2 y = - 4 x y

Substituindo os valores do ponto onde a reta passa vamos ter

d y d x = - 4 1 2 = - 2

Passo 3

A equação da reta tangente vai ser

y - y 0 x - x 0 = d y d x

y - 2 x - 1 = - 2

y - 2 = - 2 x + 2

y + 2 x - 4 = 0

Resposta

Alternativa (a)

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