Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2013.2 - 6ª Matutino, Questão 4b

Seja g x , y = f x 2 + y 2 , em que f é uma função diferenciável.

b) Sabendo que f ' 2 = 1 , determine a equação da reta tangente à curva de nível de g que passa pelo ponto 1,1 .

Passo 1

b)

Vamos lá... o que define a reta tangente? A derivada da curva e o ponto de tangência, certo? Então pegamos esse vetor da derivada, multiplicamos pelo parâmetro t e somamos o ponto de tangência! Tá, mas não temos a equação da curva... como faremos?

Neste caso, podemos encontrar o vetor derivada encontrando, antes, o vetor gradiente, e, depois, girando-o em 90 ° ! Entendeu? É porque o vetor gradiente é normal à curva de nível, então de rotacionarmos ele em 90 ° , teremos o vetor tangente!

Como o próprio enunciado disse, o ponto é 1,1 , e, jogando ele em g , temos:

g 1,1 = f 1 2 + 1 2 = f 2

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Passo 2

E sabemos que a derivada f ' 2 vale 1 , dado do enunciado! Assim, podemos encontrar o gradiente fazendo as derivadas em relação a x e a y :

δ g δ x = f ' 2 . 2 x = 1 . 2 = 2

δ g δ y = f ' 2 . 2 y = 1 . 2 = 2

Portanto, gradiente da função a função g no ponto 1,1 é 2 , 2 , ou seja, na verdade é um vetor múltiplo de 1,1 ! Assim, a equação da reta tangente será:

r t = 1,1 + 90 ° t + 1,1 = t + 1 , t + 1

Para girar em 2 D um vetor em 90 ° , basta trocar as coordenadas de lugar (que vai continuar dando 1,1 , por sinal hehe) e trocar o sinal da primeira. Então, teremos:

r t = - 1,1 t + 1,1 = - t + 1 , t + 1

Resposta

Reta Tangente: r t = - t + 1 , t + 1

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