Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2015.1, Questão ME6

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável tal que C = x , y R 2     f x , y = 0 }   é uma curva no plano. Sabendo que P 0 = 1,1 C e que o gradiente de f no ponto P 0 é o vetor ( 2,1 ) , podemos afirmar que a equação da reta tangente a C em P 0 é:

(a) x + y = 2 .

(b) 2 x + y = 2 .

(c) x + 2 y = 3 .

(d) 2 x + y = 3 .

Passo 1

Queremos a equação da reta tangente a C em P 0 .

A equação do plano tangente a uma superfície em um ponto P 0 é:

n x , y , z = n P 0

onde n é o vetor normal em P .

Mas aqui não queremos o plano tangente a uma superfície, e sim a reta tangente à uma curva de nível da superfície. Ficou confuso? Basicamente queremos uma reta, e não um plano, então podemos trabalhar com 2 dimensões em vez de 3, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a equação fica:

n x , y = n P

E como o gradiente é o vetor normal:

f P 0 x , y = f P 0 P 0

    2,1 x , y = 2,1 ( 1,1 )

2 x + y = 2 + 1 = 3

Resposta

Alternativa (d)

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