Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

Ver Teoria

Enunciado

Considere os autovalores λ 1 = - 1 e λ 2 = 2 , e seus respectivos autovetores v 1 = - 1 2 e v 2 = 1 2 de uma matriz A .

( a ) Determine um sistema de equações diferenciais X ' t = A . X t .

( b ) Esboce um retrato do sistema.

c Esboce a trajetória que passa pelo ponto 1,3 .

Passo 1

( a ) Determine um sistema de equações diferenciais X ' t = A . X t .

Cara, temos que lembrar o seguinte:

A = P . D . P - 1

Onde P é matriz dos autovetores normalizados nas colunas e D é uma matriz diagonal, na qual a sua diagonal é cada autovalor da matriz A .

Passo 2

Então, vamos montar cada matriz dessa e encontrar quem é A :

D = - 1 0 0 2

Agora, para encontrar P , precisamos normalizar os autovetores:

v 1 = - 1 2

v 1 = - 1 2 + 2 2 = 5

v 1 v 1 = - 1 5   2 5

Passo 3

Normalizando v 2

v 2 = 1 2

v 2 = 1 2 + 2 2 = 5

v 2 v 2 = 1 5   2 5

Passo 4

Encontrando P

P = - 1 5 1 5 2 5 2 5

Lembrando que como colocamos o - 1 no primeiro termo da diagonal, a primeira coluna tem que ser o autovetor associado a ele, e assim respectivamente.

Passo 5

Para encontrar P - 1 , basta inverter a matriz. Lembrando que para inverter uma matriz 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 det ⁡ a b c d d - b - c a

Então:

P - 1 = 1 det ⁡ P 2 5 - 1 5 - 2 5 - 1 5

det ⁡ - 1 5 1 5 2 5 2 5 = - 4 5

P - 1 = - 5 2 5 4 5 2 5 4

Passo 6

Calculando A :

A = - 1 5 1 5 2 5 2 5 - 1 0 0 2 - 5 2 5 4 5 2 5 4

A = 1 2 3 4 3 1 2

Passo 7

( b ) Esboce um retrato do sistema.

Bom, a gente está lidando com um sistema que tem a seguinte solução:

X t = c 1 e - t v 1 + c 2 e 2 t v 2

Se c 1 = 0 , as soluções serão paralelas a v 2 = 1 2 , então o retrato de fase pode ser o seguinte:

Pode ser qualquer translação dessa reta também.

Se c 2 = 0 , as soluções serão paralelas a v 1 = - 1 2 , então o retrato de fase pode ser o seguinte:

Como o autovalor é negativo, ele se torna um atrator, enquanto que o autovalor positivo torna o autovetor correspondente um repulsor.

Cara, caso ambas as constantes sejam diferentes de 0 , pra olhar o retrato do sistema, basta olharmos para os autovetores e autovalores. Como os autovalores são reais e diferentes e com sinais diferentes, nosso retrato será hiperbolítica:

Veja bem: conforme t → - ∞ , a solução se aproxima de X t ≈ c 1 e - t v 1 e conforme t → + ∞ , a solução se aproxima de X t ≈ c 2 e 2 t v 2 .

Passo 8

( c ) Esboce a trajetória que passa pelo ponto 1,3 .

Amigx, naquele ponto especificado, a trajetória vai ser hiperbólica, porque esse ponto está acima do vetor v 2 = 1 2 . A trajetória está em amarelo.

Resposta

a A = 1 2 3 4 3 1 2

( b )

( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos críticos.
Em cada um dos problemas de 1 a 4, verifique se (0, 0) é um ponto crítico, mostre que o sistema é localmente linear e discuta o tipo e a estabilidade do ponto crítico (0, 0) examinando o sistema linea
Considere o sistema (2) no texto e suponha que σ1σ2 – α1α2 = 0.Se σ1∊2 – α2∊10, classifique cada ponto crítico e determine se é assintoticamente estável, estável ou instável. Note que o Problema 5 é d
Em cada um dos problemas de 5 a 18:(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.(c) Encontre os autovalor
Em cada um dos problemas de 5 a 18:(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.(c) Encontre os autovalor