Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

Sistema de EDO de Dimensão 2 - Retrato de Fase

Para o sistema abaixo, esboce o retrato de fase correspondente e classifique a singularidade 0,0

X ' t = - 2 1 - 1 - 2 X t

Passo 1

Temos o sistema já no modo matricial, a matriz A vai ser

A = - 2 1 - 1 - 2

Agora temos que achar os autovalores dessa parada, vamos fazer

- 2 - λ 1 - 1 - 2 - λ = 0

- 2 - λ - 2 - λ - - 1 1 = 0

4 + 2 λ + 2 λ + λ 2 + 1 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

Resolvendo essa equação de 2 º grau, vamos ter

λ 1 = - 4 + 4 2 - 4 . 1 5 2.1 = - 4 + 16 - 20 2 = - 4 + - 4 2 = - 4 + 4 i 2 = - 4 + 2 i 2 = - 2 + i

λ 2 = - 4 - 4 2 - 4 . 1 5 2.1 = - 4 - 16 - 20 2 = - 4 - - 4 2 = - 4 - 4 i 2 = - 4 - 2 i 2 = - 2 - i

Temos dois autovalores complexos, onde o sinal da parte real é negativo, o retrato de fase fica algo mais ou menos assim

Não precisa calcular os autovetores para fazer esse esboço, como o nome diz é um esboço rs.

O ponto crítico vai ser espiral estável.

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Resposta

O ponto crítico vai ser espiral estável.

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