Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2013.1, Questão 3

Considere o sistema linear X ' t = A X ( t ) onde:

A = 1 a b 1

Determine os valores de a, b para os quais:

I) As soluções do sistema satisfazem

lim t → + ∞ ⁡ X ( t ) = 0,0

II) A singularidade (0,0) é uma sela hiperbólica.

Passo 1

A primeira coisa a se fazer em problemas desse tipo é achar os autovalores da matriz A .

Então vamos lá!

Fazemos

det ⁡ A - λ I = 0

1 - λ a b 1 - λ = 0

1 - λ 2 - a b = 0

1 - 2 λ + λ 2 - a b = 0

λ = 2 ± 4 - 4 + 4 a b 2 = 1 ± a b

Então achamos

λ 1 = 1 + a b

λ 2 = 1 - a b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar os valores e sinais de a e b .

  • a e b são não nulos e tem sinais opostos: Então os autovalores são complexos com a parte real diferente de zero e positiva.
  • Portanto o ponto ( 0,0 ) é um ponto repulsor ou fonte então toda solução se afasta de ( 0,0 ) quando t aumenta.

  • a ou b são iguais a zero: Daí o sistema possui somente um autovalor λ = 1 e (0,0) conitnua sendo repulsor.
  • a e b não nulos e tem sinais iguais: Aí os autovalores são diferentes e um deles é sempre positivo, mais especificamente o autovalor λ 1 = 1 + a b .

Nesse caso temos: λ 2 = 1 - a b < 0 ⇒ 1 < a b ⇒ a b > 1 .

E nesse caso temos que o ponto ( 0,0 ) é um ponto de sela hiperbólica.

Passo 3

Agora estamos prontos pra responder os itens I) e II).

I) Não existem valores de a e b que satisfaçam a condição

lim t → + ∞ ⁡ X ( t ) = 0,0

Pois como vimos antes, em todos os casos dos autovalores de A achamos que o ponto ( 0,0 ) é um ponto repulsor, ou seja toda solução se afasta de ( 0,0 ) quando t aumenta.

Passo 4

II) Como vimos nos casos acima, o ponto 0,0 é um ponto de sela hiperbólica quando a e b satisfazem

a b > 1

Resposta

  1. Não existem valores de a e b que satisfazem a condição.
  2. a b > 1 .

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