Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

Sistema de EDO de Dimensão 2 – Retrato de Fase

Considere o sistema linear X ' t = A X t onde:

A = b b - 1 2 b + 1 2 b

Determine os valores do parâmetro real b de maneira que no retrato de fase exista um nó atrativo.

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então só precisamos fazer os autovalores de A para achar seu retrato de fases.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = b b - 1 2 b + 1 2 b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

b - λ b - 1 2 b + 1 2 b - λ   = 0

b - λ b - λ - b - 1 2 b + 1 2 = 0

b 2 - 2 b λ + λ 2 - b 2 - 1 4 = 0

λ 2 - 2 b λ + b 2 - b 2 4 + 1 4 = 0

λ 2 - 2 b λ + 3 b 2 4 + 1 4 = 0

Não vamos resolver essa parada, isso porque ele quer um nó atrativo, o que isso quer dizer?

Isso nos diz que os autovalores são reais e ambos negativos. Vamos com calma, se os dois são negativos o produto deve ser positivo, ou seja, o termo sem λ deve ser maior que 0

P λ 1 , λ 2 = 3 b 2 4 + 1 4 1

Como aquele cara está ao quadrado e temos uma soma ele vai ser sempre positivo.

Passo 3

Além disso a soma deve ser negativa também, a soma vai ser

S λ 1 , λ 2 = - - 2 b 1 = 2 b

Devemos ter

b < 0

Passo 4

Falta vermos agora ele ser real e diferente, para isso Δ > 0

Δ = - 2 b 2 - 4 1 3 b 2 4 + 1 4

⇒ 4 b 2 - 3 b 2 - 1

⇒ b 2 - 1

Devemos ter

b 2 - 1 > 0

Isso nos diz que

b > 1         o u         b < - 1

Isso porque as raízes são ± 1 e o coeficiente de b 2 é positivo.

Como ele quer alguém negativo, como vimos pela soma, devemos ter

b < - 1

Resposta

b < - 1

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