Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

Sistema de EDO de Dimensão 2 - Retrato de Fase

Para o sistema abaixo, esboce o retrato de fase correspondente e classifique a singularidade 0,0

X ' t = 3 - 1 3 3 X t

Passo 1

Temos o sistema já no modo matricial, a matriz A vai ser

A = 3 - 1 3 3

Agora temos que achar os autovalores dessa parada, vamos fazer

3 - λ - 1 3 3 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - - 1 3 = 0

9 - 3 λ - 3 λ + λ 2 + 3 = 0

λ 2 - 6 λ + 12 = 0

Resolvendo essa equação de 2 º grau, vamos ter

λ 1 = - - 6 + - 6 2 - 4 . 1 12 2.1 = 6 + 36 - 48 2 = 6 + - 12 2 = 6 + 12 i 2 = 6 + 2 3 i 2 = 3 + 3 i

λ 2 = - - 6 - - 6 2 - 4 . 1 12 2.1 = 6 - 36 - 48 2 = 6 - - 12 2 = 6 - 12 i 2 = 6 - 2 3 i 2 = 3 - 3

Temos dois autovalores complexos, onde o sinal da parte real é positivo, o retrato de fase fica algo mais ou menos assim

Não precisa calcular os autovetores para fazer esse esboço, como o nome diz é um esboço rs.

O ponto crítico vai ser espiral instável.

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Resposta

O ponto crítico vai ser espiral instável.

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