Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

Considere a matriz A dada por

A = α 1 - 1 - α

( a ) Determine os valores de α de modo que no retrato de fase do sistema X ' t = A . X ( t ) o ponto crítico ( 0,0 ) seja um centro.

( b ) Para α = 0 , encontre a solução do sistema e esboce o retrato de fase.

Passo 1

Nosso sistema é:

X ' t = α 1 - 1 - α X ( t )

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método do cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = α 1 - 1 - α

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( a ) Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

α - λ 1 - 1 - α - λ = 0

α - λ - α - λ - 1 . - 1 = 0

λ 2 + α λ - α λ - α 2 + 1 = 0

λ 2 = α 2 - 1

λ = ± α 2 - 1

Como queremos que tenhamos o ( 0,0 ) como centro estável, nosso λ precisa ser um imaginário puro. Então:

α 2 - 1 < 0

α < 1

α ∈ ( - 1,1 )

Passo 3

( b ) Bom, já vimos como são os nossos autovalores. Então, para α = 0 , temos:

λ = ± - 1 = ± i

Como temos autovalores complexos o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos ⁡ b t + i sen ⁡ b t   λ 2 α + β = e a t cos ⁡ b t - i sen ⁡ b t

Com

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Isso nos diz que

a = 0

b = 1

Com os nossos valores vai ficar

i α + β = cos ⁡ t + i sen ⁡ t   - i α + β = cos ⁡ t - i sen ⁡ t

Esse é o momento que você para, respira fundo e pensa, agora ferrou!!!!! Quando a parada der complexa as contas vão ser levemente bizarras mesmo, mas relaxa que você consegue, me segue até o fim e não desiste.

Você deve estar pensando nesse maldito i , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a segunda equação da primeira

i α - - i α = cos ⁡ t + i sen ⁡ t - cos ⁡ t - i sen ⁡ t

2 i α = 2 i sen ⁡ t

α = sen ⁡ t

O valor de β vai ser

β = - i α + cos ⁡ t + i sen ⁡ t

β = - i sen ⁡ t + cos ⁡ t + i sen ⁡ t

β = cos ⁡ t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = sen ⁡ t 0 1 - 1 0 + c o s ⁡ ( t ) 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

Passo 5

Supondo que a condição inicial seja

X 0 = x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )

Então vamos ter

X ( 0 ) = c o s ⁡ ( 0 ) sen ⁡ 0 - sen ⁡ 0 c o s ⁡ ( 0 ) ∙ C 1 C 2

X ( 0 ) = 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

C 1 C 2 = x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )

Passo 6

A solução vai ficar

X = c o s ⁡ ( t ) sen ⁡ t - sen ⁡ t c o s ⁡ ( t ) ∙ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )

Passo 7

Agora só nos resta fazer o retrato de fase. Cara, a gente já viu na letra ( a ) que para α ∈ ( - 1,1 ) o retrato de fase é o centro estável. Então:

Resposta

a   X = c o s ⁡ ( t ) sen ⁡ t - sen ⁡ t c o s ⁡ ( t ) ∙ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )

b

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