Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

Elaboração Própria

Sabendo que o ponto crítico do sistema abaixo é x 0 = 0,0 , determine o retrato de fase e qual tipo de ponto é o ponto crítico.

X ' = 1 - 4 4 - 7 X

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então só precisamos fazer os autovalores de A para achar seu retrato de fases.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 1 - 4 4 - 7

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 - λ - 4 4 - 7 - λ = 0

1 - λ - 7 - λ - - 4 . 4 = 0

λ 2 + 6 λ - 7 + 16 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = - 3

Esse é o caso de autovalores iguais, aqui vai ser uma situação onde precisamos achar seus autovetores, porque se tivermos 2 diretos é uma coisa se tivermos 1 direto e depois ter que resolver aquela equação auxiliar vai ser diferente o retrato de fase.

Passo 3

Agora temos que achar os autoespaços associados, para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

1 - 4 4 - 7 x 1 x 2 = - 3 0 0 - 3 x 1 x 2

x 1 - 4 x 2 4 x 1 - 7 x 2 = - 3 x 1 - 3 x 2

Vamos ter

x 1 - 4 x 2 = - 3 x 1

4 x 1 = 4 x 2

x 1 = x 2

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1

Agora vimos que só rola um vetor, precisamos achar o outro autovetor usando

A - λ 2 I v 2 = v 1

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

Então

1 - 4 4 - 7 - - 3 0 0 - 3 y 1 y 2 = 1 1

4 - 4 4 - 4 y 1 y 2 = 1 1

Isso deixa a equação

4 y 1 - 4 y 2 = 1

y 2 = y 1 - 1 4

O auto vetor vai ser

v 2 = y 1 y 1 - 1 4 = y 1 y 1 + 0 - 1 4 = y 1 1 1 + 0 - 1 4

Essa parte com y 1 vamos ignorar porque já é o outro autovetor, então

v 2 = 0 - 1 4

Beleza agora conseguimos fazer um esboço melhor, aqui temos que achar o segundo porque precisamos saber como é a orientação dos dois para pode deixar direitinho o retrato de fases.

Passo 4

O retrato de fases vai ser

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó impróprio.

Resposta

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó impróprio.

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