Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2012.2, Questão 4

Seja y t = ( y 1 t , y 2 t ) . Considere as matrizes seguintes:

  1. A = 1 1 2 2
  2. B = 1 3 - 2 - 1
  3. C = 2 3 1 5
  4. D = 1 - 2 2 1
  5. E = - 2 2 - 2 - 1
  6. F = - 2 2 - 2 - 7
  7. G = 3 0 0 3
  8. H = 1 2 0 - 2

A seguir estão os retratos de fase dos sistemas Y ' t = A Y t , … , Y ' t = H Y t .

Ao lado de cada figura escreva qual é a letra da matriz correspondente.

Passo 1

O macete desse questão é achar os autovalores das matrizes para que assim consigamos descobrir a cara do seu retrato de fase associado.

Vamos fazer cada matriz, uma de cada vez.

  1. Temos A = 1 1 2 2
  2. Então

    1 - λ 1 2 2 - λ = 0

    1 - λ 2 - λ - 2 = 0

    λ 2 - 3 λ = 0

    λ 1 = 0 , λ 2 = 3

    Então como um dos autovalores é zero e o outro é maior que zero, temos um ponto crítico repulsor, então o retrato de fase associado a esse sistema é o da figura (1).

    Passo 2

  3. B = 1 3 - 2 - 1

Então,

1 - λ 3 - 2 - 1 - λ = 0

1 - λ - 1 - λ + 6 = 0

λ 2 + 5 = 0

λ 1 = 5 i , λ 2 = - 5 i

Então, como os autovalores são complexos com parte real nula, temos um ponto crítico do tipo centro, portanto o retrato de fase associado a esse sistema é o da figura (3)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. C = 2 3 1 5

Então,

2 - λ 3 1 5 - λ = 0

2 - λ 5 - λ - 3 = 0

λ 2 - 7 λ + 7 = 0

λ 1 = 7 + 21 2 , λ 2 = 7 - 21 2

Então, como os autovalores são reais, diferentes e não nulos, temos que o retrato de fase da figura (6) representa o sistema c.

Passo 3

  1. D = 1 - 2 2 1

Então,

1 - λ - 2 2 1 - λ = 0

1 - λ 2 + 4 = 0

λ 2 - 2 λ + 5 = 0

λ 1 = 1 + 2 i , λ 2 = 1 - 2 i

Como os autovalores são complexos com parte real maior que zero, temos uma espiral repulsora e portanto a figura (4) representa o retrato de fase associado ao sistema.

Passo 4

e) E = - 2 2 - 2 - 1

Então,

- 2 - λ 2 - 2 - 1 - λ = 0

- 2 - λ - 1 - λ + 4 = 0

λ 2 + 3 λ + 6 = 0

λ 1 = - 3 + 15 i 2 , λ 2 = - 3 - 15 i 2  

Como os autovalores são complexos com a parte real menor que zero, temos uma espiral atratora portanto a figura (7) representa o retrato de fase associado ao sistema.

Passo 5

f) F = - 2 2 - 2 - 7

Então,

- 2 - λ 2 - 2 - 7 - λ = 0

- 2 - λ - 7 - λ + 4 = 0

λ 2 + 9 λ + 18 = 0

λ 1 = - 3 , λ 2 = - 6

Como os autovalores são negativos e diferentes entre si, temos um nó repulsor ou seja a figura (8) representa o retrato de fase do nosso sistema.

Passo 6

g) G = 3 0 0 3

Então, como G é uma matriz diagonal, temos que os elementos da sua diagonal são seus autovalores, portanto

λ 1 = 3 = λ 2

Como os autovalores são iguais e diferentes de zero, temos um nó repulsor e portanto a figura (5) representa o retrato de fase do sistema.

Passo 7

h) H = 1 2 0 - 2

Novamente, temos que os autovalores da matriz H são os elementos da sua diagonal já H   é uma matriz triangular superior, portanto

λ 1 = 1 , λ 2 = - 2

E como temos autovalores reais e com sinais diferentes temos um ponto de sela e portanto a figura (2) representa o retrato de fase do sistema.

Resposta

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