Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Passo 1

A primeira coisa a fazer é dividir pela função que acompanha y ' ' (o chamado P ( x ) ). Assim:

Q x = x x - 3 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x

R x = - ( x + 1 ) x 3 - 4 x 2 + 3 x

P x = 1

Bom, temos que x = 0 , x = 1 e x = 3 são pontos singulares, pois fazem com que a função que acompanhava y ' ' seja 0 . Vamos ver se são pontos singulares regulares ou irregulares.

Então, olhando para x = 0 :

lim x → 0 ⁡ x x x - 3 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 - 6 x + 9 x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 0 ⁡ x 4 - 6 x 3 + 9 x 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 0 ⁡ 4 x 3 - 18 x 2 + 18 x 3 x 2 - 8 x + 3 = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 - ( x + 1 ) x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 0 ⁡ - x 3 - x 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 0 ⁡ - 3 x 2 - 2 x 3 x 2 - 8 x + 3 = 0

Logo, é regular.

Então, olhando para x = 1 :

lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) x x - 3 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 1 ⁡ x - 1 x x - 3 2 x ( x - 1 ) ( x - 3 ) = lim x → 1 ⁡ x - 3 = - 2

lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 - ( x + 1 ) x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 1 ⁡ x - 1 2 ( - x - 1 ) x ( x - 1 ) ( x - 3 ) = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( - x - 1 ) x ( x - 3 ) = 0

Logo, é regular.

Então, olhando para x = 3 :

lim x → 3 ⁡ ( x - 3 ) x x - 3 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 3 ⁡ x - 3 x x - 3 2 x ( x - 1 ) ( x - 3 ) = lim x → 3 ⁡ x - 3 2 ( x - 1 ) = 0

lim x → 3 ⁡ ( x - 3 ) 2 - ( x + 1 ) x 3 - 4 x 2 + 3 x = lim x → 3 ⁡ x - 3 2 ( - x - 1 ) x ( x - 1 ) ( x - 3 ) = lim x → 3 ⁡ ( x - 3 ) ( - x - 1 ) x ( x - 1 ) = 0

Logo, é regular.

Resposta

Todos os pontos são ordinários, exceto x = 0 , x = 1 e x = 3 que são singulares regulares.

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